Моя інтуїція завжди полягала в тому, що коли будь-яка сфера проектується на 2D простір, результат завжди математично буде еліпсом (або колом у вироджених випадках).

У минулому, коли я активно займався графічним програмуванням і виховував це з іншими людьми, вони були твердими, що я помилявся. Якщо я правильно пригадую, вони вважали, що результат може бути чимось невиразним «яйцеподібним».

Хто був правильний?

Оскільки вже є одна відповідь, я не хочу повністю змінювати своє запитання, але розумію, що залишив важливі деталі через втрату знайомства з польовими роками.

Я мав намір запитати конкретно про перспективну проекцію, де проекція є лінійним додатком .

Інші прогнози, звичайно, цікаві для багатьох застосувань, тому я не хотів би, щоб вони були видалені в цей момент. Але було б чудово, якби відповіді могли мати перспективну проекцію як найвизначнішу їх частину.

Якщо припустити перспективну проекцію і точку зору, зовнішню до сфери, то "межа", утворена точкою огляду і колом на сфері, яка утворює горизонт WRT точки зору, буде конусом.

Виконання перспективної проекції (на площину) тоді еквівалентно перетину цього конуса з площиною, що, таким чином, створює конічний переріз. FYI чотири, невироджені випадки, показані на цьому зображенні з Вікіпедії

Таким чином, еліпс / коло є можливістю, але не єдиною - без обмежених парабол або гіпербол (і я думаю, якщо площина проходить через око, можливі навіть вироджені випадки).

Це більше схоже на довгий коментар до відповіді @ SimonF про те, що я намагаюся зробити дещо самодостатньою.

Можливі всі надрізи конуса, гіпербола, парабола та овали. Це легко перевірити, намалювавши зображення в тривимірному двигуні надзвичайно ширококутною камерою. Поверніть камеру, щоб сказати, під кутом 30 градусів, щоб об'єкт не знаходився посередині фокуса. Потім поступово перемістіть камеру ближче до сфери.

Зображення 1: Летить дуже близько до сфери, яка дивиться трохи збоку. Зауважте, як ми раптом проколюємо поверхневу форму всередині.

Отже, підбити підсумок, коли сфера дуже близька, щоб вона виходила з картини на широке зображення, це може бути парабола або гіпербола. Але форма просто вийде з кадру, щоб це зробити.

Проекційні системи використовуються для перетворення 3D-форми в планарну (2D) форму.

Відповідно до типу системи проекцій, різні результати та форми, як прямокутники, пироги, еліпси, кола, ..., можуть бути отримані поза сферою.

Проекційні системи можна класифікувати за характеристиками результату, який вони генерують.

Щоб продовжити, я хотів би скористатися дуже дотичним і поширеним прикладом, який ми всі бачили раніше, Земна сфера та глобальні карти, вони є скрізь.

Припустимо, ваша сфера - це земля!

Уявіть собі землю як свою сферу та площинну карту світу, яка створена із сферичної форми землі. На більшості світових карт ви бачите, що країни поблизу полюсів стають набагато більшими, ніж є насправді, як Ісландія, яка насправді становить 1/14 континенту Африки, але карта показує їх як рівні. Це тому, що коли ми опускаємо один вимір, ми втрачаємо одну характеристику наших форм.

Різні системи проекцій та їх результати

Це плоска проекція, яка не зберігає відстань, кути чи площу. Червоні кола показують величину перебільшення, що є продуктом цієї проекції.

Порівнюйте площу, погляньте на Ісландію та Африку в цій і порівняйте вище.

Проекційні системи можна класифікувати за тим, що вони зберігають.

1. Рівна площа.
2. Рівний кут, який зберігає форму без перекосів (конформний).
3. Рівна відстань.
4. ......

Конформальні проекції зберігають форми, але площа не буде збережена (перша вище картина). Ця система є найвідомішою проекційною системою, яка використовується у багатьох програмах. Ваша сфера тут прямокутник!

Тож не можна сказати, що сфера завжди буде проектуватися на еліпс. Як було сказано вище, сфера може бути спроектована на прямокутник (перша форма) або може бути еліпсом, але з різними характеристиками (рівний кут, відстань, форма, площа - див. Наступну картину), або ви також можете спроектувати сферу в конічну форму а потім відкрийте конік, щоб у вас вийшов пиріг.

Кожну з перерахованих вище проекційних систем можна застосовувати за допомогою ітеративних або прямих алгоритмів, які можна знайти в Інтернеті. Я не говорив про формулу та перетворення, тому що ви не питали. Хоча я бажаю, щоб ця відповідь була корисною.

У перспективних прогнозах я кажу, що так, тільки еліпси будуть вироблятися з сфер

Вирізання коніка горизонтальною площиною створює коло.

Різання косою площиною створює конус, який був би еліпсом або гіперболою залежно від кута різання, і коли цей кут нахилиться до вертикалі, створить параболу (наступний малюнок).

Можливо, це очевидно, але погляньте на їх рівняння.

Для простоти я припустив, що всі геометрії орієнтовані на походження.

Рівняння:

$x^2+y^2=r^2$

$x^2/a^2+y^2/b^2=1$

$x^2/a^2-y^2/b^2=1$

$y^2=4ax$

Морфологія:

У еліпса очевидно два вогнища. Коло як особливий вид еліпсису теж має два вогнища, але вони збігаються. Однак гіпербола є дзеркалом осі, що має рівний еліпсис, і має також два вогнища. Парабола має один фокус, але насправді має два, тому що другий знаходиться в нескінченності: коли ріжуча площина нахиляється до 90 градусів (кут підшипника), другий фокус іде до нескінченності.

Висновок

Як ви бачите, всі це еліпси, однак ви можете їх називати по-різному, щоб описувати особливі випадки, але якщо ви збираєтесь реалізувати це в грі, вам потрібно взяти рівняння еліпса і цього достатньо. Я не можу сказати, хто з вас має рацію, ви чи ваш друг, тому що обидва можуть бути праві.

Міркування SimonF в основному мене переконували, але я вирішив зробити перевірку здоровості. Я завантажив рівень UE4, який, можливо, має деякі сфери, як ця:

Я встановив камеру FOV до 160 градусів, щоб надати багато спотворень у перспективі, і розмістив її так, щоб сфера була біля кута зображення:

Потім я взяв це в Inkscape і використав інструмент еліпса, щоб намалювати на ньому:

Сюрприз! Це ідеально підходить!

При нарізанні кулі один раз не утворюються параболи чи гіперболи. Не існує також еліпсів, за винятком спеціального випадку, який є колом. Результатом завжди є коло. Якщо спроектувати сферу на нахилену площину, ви отримаєте еліпс