Який найпростіший спосіб обчислити головну кривизну для сітчастого трикутника?

20

У мене сітка, і в області навколо кожного трикутника я хочу обчислити оцінку основних напрямків кривизни. Я ніколи раніше цього не робив, і Вікіпедія не дуже допомагає. Чи можете ви описати або вказати мені на простий алгоритм, який може допомогти мені обчислити цю оцінку?

Припустимо, що я знаю позиції та нормали всіх вершин.

mesh

— ap_
джерело

24

Коли мені знадобилася оцінка кривизни сітки для шейдера шкіри, алгоритм, на якому я закінчився, був такий:

По-перше, я обчислив скалярну кривизну для кожного краю в сітці. Якщо край має положення і нормалі , то його кривизна я оцінила як: $p_1, p_2$ $n_1, n_2$

curvature = \frac{(n_{2} - n_{1}) \cdot (p_{2} - p_{1})}{| p_{2} - p_{1} |^{2}}

$\text{curvature} = \frac{(n_2 - n_1) \cdot (p_2 - p_1)}{|p_2 - p_1|^2}$

При цьому обчислюється різниця нормалей, що проектується по краю, як частка довжини ребра. (Дивіться нижче, як я придумав цю формулу.)

Потім для кожної вершини я дивився на викривлення всіх ребер, що торкаються її. У моєму випадку я просто хотів скалярну оцінку "середньої кривизни", тому я в кінцевому підсумку взяв середнє геометричне значення абсолютних значень усіх кривих ребер у кожній вершині. У вашому випадку ви можете знайти мінімальну і максимальну кривизни, а ці краї вважати основними напрямками кривизни (можливо, ортонормалізуючи їх з вершиною нормальної). Це трохи грубо, але це може дати вам досить хороший результат для того, що ви хочете зробити.

Мотивація цієї формули - це перегляд того, що відбувається в 2D при застосуванні до кола:

формула кривизни, застосована до двох точок на колі

Припустимо, у вас є коло радіуса (тому його кривизна дорівнює ), і у вас є дві точки на колі з їх нормалами . Положення точок, відносно центру кола, будуть і , завдяки властивості, яку нормалі кола або сфери завжди вказують безпосередньо від її центру. $r$ $1/r$ $n_1, n_2$ $p_1 = rn_1$ $p_2 = rn_2$

Тому ви можете відновити радіус якабо. Але в цілому позиції вершин не будуть відносно центру кола. Ми можемо обійти це, віднімаючи два: $r = |p_1| / |n_1|$ $|p_2| / |n_2|$

\begin{aligned} p_{2} - p_{1} & = r н_{2} - r н_{1} \\ = r (н_{2} - н_{1}) \\ r & = \frac{| p_{2} - p_{1} |}{| н_{2} - н_{1} |} \\ кривизна = \frac{1}{r} & = \frac{| н_{2} - н_{1} |}{| p_{2} - p_{1} |} \end{aligned}

$\begin{aligned} p_2 - p_1 &= rn_2 - rn_1 \\ &= r(n_2 - n_1) \\ r &= \frac{|p_2 - p_1|}{|n_2 - n_1|} \\ \text{curvature} = \frac{1}{r} &= \frac{|n_2 - n_1|}{|p_2 - p_1|} \end{aligned}$

Результат точний лише для кіл та сфер. Однак ми можемо розширити його, щоб зробити його трохи більш "толерантним" і використовувати його на довільних 3D-сітках, і, здається, він працює досить добре. Ми можемо зробити формулу більш толерантною, спочатку вектор на напрямок краю, . Це дозволяє, щоб ці два вектори не були абсолютно паралельними (як це у випадку кола); ми просто спроектуємо будь-який компонент, який не є паралельним. Це можна зробити, встановивши крапку з нормалізованим ребром вектора: $n_2 - n_1$ $p_2 - p_1$

\begin{aligned} кривизна & = \frac{(н_{2} - н_{1}) \cdot нормалізувати (p_{2} - p_{1})}{| p_{2} - p_{1} |} \\ = \frac{(н_{2} - н_{1}) \cdot (p_{2} - p_{1}) / | p_{2} - p_{1} |}{| p_{2} - p_{1} |} \\ = \frac{(н_{2} - н_{1}) \cdot (p_{2} - p_{1})}{| p_{2} - p_{1} |^{2}} \end{aligned}

$\begin{aligned} \text{curvature} &= \frac{(n_2 - n_1) \cdot \text{normalize}(p_2 - p_1)}{|p_2 - p_1|} \\ &= \frac{(n_2 - n_1) \cdot (p_2 - p_1)/|p_2 - p_1|}{|p_2 - p_1|} \\ &= \frac{(n_2 - n_1) \cdot (p_2 - p_1)}{|p_2 - p_1|^2} \end{aligned}$

Et voilà, є формула, яка з’явилася вгорі цієї відповіді. До речі, приємною побічною перевагою використання підписаної проекції (крапкового добутку) є те, що формула надає підписану кривизну: позитивна для опуклих, а негативна для увігнутих поверхонь.

Ще один підхід, який я можу уявити, використовуючи, але не намагався, - це оцінити другу фундаментальну форму поверхні в кожній вершині. Це можна зробити, встановивши дотичну основу у вершині, потім перетворивши всі сусідні вершини в цей дотичний простір і використовуючи найменші квадрати для пошуку найкращої матриці 2FF. Тоді основними напрямками кривизни були б власні вектори цієї матриці. Це здається цікавим, оскільки воно може дозволити вам знайти напрямки кривизни, "натякані" на сусідні вершини, без будь-яких ребер, які явно вказують у цих напрямках, але з іншого боку, це набагато більше коду, більше обчислень і, можливо, менш чисельно надійний.

Документ, який застосовує такий підхід, - Русинкевич, "Оцінка кривизн та їх похідних на трикутних сітках" . Він працює, оцінюючи найкращу матрицю 2FF на трикутник, а потім усереднюючи матриці на вершину (подібно до того, як обчислюються гладкі нормали).

— Натан Рід
джерело

1

FYI, якщо це має значення, я тут використав вашу відповідь blender.stackexchange.com/questions/146819/…, але додав зважування, використовуючи кут навколо p1. Не знаєте, чи вважаєте ви це цінним? У будь-якому разі сміливо коментуйте. Спасибі.

— лимон

20

Для того, щоб додати ще один спосіб до відмінної відповіді @NathanReed, ви можете використовувати середню та гауссову кривизну, яку можна отримати за допомогою дискретного Laplace-Beltrami.

Тож припустимо, що околиця з кільцем у вашій сітці виглядає приблизно так $v_i$

$A(v_i)$ може бути просто областей трикутників, які утворюють це кільце, і вказаний є однією з сусідніх вершин. $\frac{1}{3}$ $v_j$

Тепер давайте назвемо функцію, визначену вашою сіткою (повинна бути диференційованим колектором) у певний момент. Найпопулярніша дискретизація оператора Лапласа-Белтрамі, про яку я знаю, - це дискретизація котангенсів і надається: $f(v_i)$

Δ_{S} f (v_{i}) = \frac{1}{2 А (v_{i})} \sum_{v_{j} \in N_{1} (v_{i})} (c о т α_{i j} + c о т β_{i j}) (f (v_{j}) - f (v_{i}))

$\Delta_S f(v_i) = \frac{1}{2A(v_i)} \sum_{v_j \in N_1(v_i)} (cot \alpha_{ij} + cot \beta_{ij}) (f(v_j) - f(v_i))$

Де означає кожну вершину в одному кільцевому районі . $v_j \in N_1(v_i)$ $v_i$

З цим досить просто обчислити середню кривизну (тепер для простоти давайте назвемо функцію вашої сітки у вершині, що цікавить, просто ) $v$

Н = \frac{1}{2} | | Δ_{S} v | |

$H = \frac{1}{2} || \Delta_S v ||$

Тепер введемо кут як $\theta_j$

Гауссова кривизна:

К = (2 π - \sum_{j} θ_{j}) / А

$K = (2\pi - \sum_j \theta_j) / A$

Після всього цього болю основні дискретні викривлення задаються:

к_{1} = Н + \sqrt{Н^{2} - К} і к_{2} = Н - \sqrt{Н^{2} - К}

$k_1 = H + \sqrt{H^2 - K} \ \ \text{and} \ \ k_2 = H - \sqrt{H^2 - K}$

Якщо вас цікавить тема (і додати деяку посилання на цю посаду), відмінним прочитанням є: Дискретні диференціально-геометричні оператори для трикутних 2-маніфольдів [Meyer et al. 2003].

За образи я дякую моєму екс-професору Найлою Мітрі, коли я знайшов їх у деяких записках, які я взяв на його лекції.

— cifz
джерело

Обидві відповіді справді хороші, мені було важко вибрати. Оскільки я запитав про найпростіший спосіб, я думаю, що Натан бере пиріг.

— ap_

2

Що Meyer et al. 2003 рік (можливо, явно) не згадував про те, як обчислити кривизну прикордонних вершин. Оскільки вони застосували кутовий дефіцитний підхід, Гаусса для прикордонних вершин повинна читати .

K = (π - \sum_{j} θ_{j}) / A_{m i x e d}

$K = (\pi - \sum_j{\theta_j})/A_{mixed}$

— теодрон

@teodron Чи можете ви мати уявлення про середню кривизну прикордонних вершин? Чи можна таке визначити?

— сумно

@ Задоволений Я трохи переживаю, що середня кривизна не буде негативною, незалежно від типу поверхні. Якщо оператор, подібний до Лаплація, визначений на граничній вершині, то справа в тому, щоб оцінити той самий вираз, включаючи лише трикутники, що складають грані поверхні, що падає на . Однак існують новіші статті про дискретні викривлення ..

v_{i}

$v_i$

— теодрон

-1

@ Nathan-Reed: Лише запитання до відповіді Натана-Рід: чому ти використав геометричне значення? Це було тому, що воно "моделюється" після Гауссової кривизни?

— Габріель
джерело

3

Якщо у вас є нове запитання, будь ласка, задайте його, натиснувши кнопку Задати питання . Додайте посилання на це питання, якщо це допомагає надати контекст. - З огляду

— Dragonseel