Потрібне авторитетне джерело для формули форми горизонту Землі

Про що я прошу

Я наголошую, що я не прошу формули --- я знаю формулу і як її вивести. Кілька різних його версій відтворено наприкінці публікації. Насправді, хтось інший не лише його вивів, але і чудово представив одну з виводів тут .

Мені потрібно авторитетне джерело для формули, щоб, наприклад, можна було розмістити її у Вікіпедії, не порушивши її заборони повідомляти про оригінальні дослідження. [Люди насправді намагалися ... Але у відповідній статті є дуже сумлінний редактор, який видалив розділ, виходячи з того, що це оригінальне дослідження ... і, на жаль, редактор правильний, тому не дуже багато сенсу намагатися боротися з цим.]

Причина, яку я розміщую в комп'ютерній графіці stackexchange

Оскільки хтось тут, можливо, моделював те, як Земля виглядає на орбіті, можливо, він чи вона може знати, чи ця формула (або, швидше за все, якесь узагальнення її) опублікована в якійсь книзі, журналі, конференціях чи навчальних записках тощо.

Я зробив "належне гуглінг"

Будь ласка, розумійте, що я не прошу нікого йти на пошуки відповіді від мого імені. Я вже робив багато гуглінгу, і розміщую тут лише в крайньому випадку. Моя (надумана) сподівання полягає в тому, що хтось тут просто дізнається посилання прямо біля кажана; якщо ні ... ну, я сподіваюся, що принаймні вам сподобалася гарна картинка внизу (якщо я сама так скажу, я з повною обізнаністю розмовляю з людьми, які цікавляться комп'ютерною графікою всіх речей), перш ніж ви перейшли до більшого та кращого речі.

Два джерела, які наближаються

1. Д.К. Лінч, "Візуально розрізнення кривизни Землі", Applied Optics vol. 47, Н39 (2008). Він вільно доступний тут . На жаль, замість того, щоб зробити це правильно (що не так складно), автор вибрав хак, який (а) я не повністю розумію, і (б) який не згоден з тим, що я знаю, щоб бути правильна формула.

2. Р. Хартлі та А. Циссерман, Геометрія множинних поглядів у комп'ютерному зорі , 2-е видання. (Cambridge University Press, Кембридж, Великобританія, 2004). У розд. 8.3, "Дія проективної камери на квадрики", ми читаємо :

Припустимо, що квадрик - це сфера, тоді конус променів між центром камери та квадриком є ​​право-круговим, тобто генератор контуру - це коло, при цьому площина кола є ортогональною до лінії, що приєднується до центрів камери та сфери. Це видно з обертової симетрії геометрії щодо цієї лінії. Зображення сфери отримують шляхом перетину конуса з площиною зображення. Зрозуміло, що це класичний конічний розріз, так що видимий контур сфери є конічним.

В принципі, це було б саме те, що потрібно, якби було включено лише трохи більше інформації --- принаймні вираз для ексцентриситету коніку як функції відстані до сфери та радіусу сфери (у випадку коли площина зображення перпендикулярна генераторному конусу, як це відбувається у випадку, коли пінфольна камера спрямована в точку на горизонті).

Детально про формулу, на яку мені потрібна наукова довідка

Ми припускаємо ідеально сферичну, ідеально рівну Землю без атмосфери. Ми наводимо ідеалізовану камеру на вершині горизонту і, використовуючи прямолінійну центральну проекцію, обчислюємо форму зображення горизонту на задній панелі камери (тобто форму, яку вона матиме на плівці --- "площину фільму") . Ось графіка (зроблена в Асимптоті для тих, хто цікавиться), яка повинна зробити це зрозумілішим:

Як ми бачили вище, зображення горизонту є частиною конічного перерізу. Нехай - ексцентриситет конічного; деривація, яку я згадав вище, замість цього використовує параметр k , який є просто зворотним ексцентриситетом: k = 1 / ε . Сама ексцентриситет задається як ε = 1 / $\varepsilon$$k$$k=1/\varepsilon$ , деε=ч/Rє відношенням висоти дочна прокол над поверхнею Землі і радіусом ЗемліR. [Замість використанняϵ, що є відношеннямвисотидоR, може бути корисним використанняη, відношеннявідстані штиря до центру Землі,h+R, до радіуса Землі:η=(R+h)/R$\varepsilon=1/\sqrt{\epsilon(2+\epsilon)}$$\epsilon=h/R$$h$$R$$\epsilon$$R$$\eta$$h+R$ . З точки зору η маємо ε = 1 / $\eta=(R+h)/R=1+\epsilon$$\eta$$\varepsilon=1/\sqrt{\eta^{2}-1}$ ]

Відстань від свердловини (точка $P$ на графіці) до площини плівки приймається за одну одиницю довжини.

осі х в площині плівки вибирається так, щоб бути паралельною лінії , що з'єднує центр Землі C (не показаний на малюнку) і точку на горизонті ( з маркуванням V в зображенні) , в якому навчається камера. Цей вибір чітко визначений, оскільки лінія C V повинна бути паралельною площині плівки. Причиною цього є те, що і C V, і площина плівки перпендикулярні до лінії зору P V (лінії, що з'єднує P і V ). І , що відбувається тому , що 1. лінії Р V є дотичною до Землі на V , таким чином , перпендикулярно$y$$C$$V$$CV$$CV$$PV$$P$$V$$PV$$V$ і 2. Р V перпендикулярно до площини плівкитому що камера навчається на V . Х вісь звичайноперпендикулярна до у осі і лежить в площині плівки, а початок координат вибираютьсяякості проекції точки V .$CV$$PV$$V$$x$$y$$V$

Якщо ці визначення не виходять, ми готові записати зображення конічного перерізу, який є зображенням горизонту Землі. Про це можна писати багатьма способами, деякі з яких наведені нижче. Мені потрібно поважне посилання на будь-яку з цих формул або формулу, еквівалентну їм.

1. Явна формула, наведена у згаданому вище словотворенні

Висновок, про який я згадав вище, дає це як остаточну версію:

$[\,y\,(1/\varepsilon-\varepsilon)-1\,]^{2}+x^{2}(1/\varepsilon^{2}-1)=1.$

Представимо це декількома додатковими способами.

2. Вираження з точки зору канонічного рівняння конічного перерізу

У цьому випадку рівняння приймає таку форму :

$x^2=2\mu y-(1-\varepsilon^{2}) y^2$ ,

де в нашому випадку $\mu=\varepsilon$ .

$\varepsilon=1$$\varepsilon\to 1$

Деталі: наведена формула має місце у випадку правильного кругового конуса, сторони якого під кутом , перетинаючись --- на відстані$2\theta$$d$$\omega$$d$$\varepsilon=\cos \omega/\cos \theta$$\mu=d(\varepsilon-\cos|\omega+\theta|)$ .

$d$$P$$\theta$$P$$h$$\omega$

$\omega+\theta=\pi/2$$d=1$$\mu=\varepsilon$ .

3. Вираз у формі `` стандартної форми 'конічного перерізу

Ця форма, мабуть, найвідоміша:

$\frac{(x-x_{0})^{2}}{p^2}+\frac{(y-y_{0})^{2}}{q^2}=1$ .

Він пов'язаний з параметрами, що входять у канонічне рівняння (див. 2., вище) наступним чином:

$x_{0}=0$

$y_{0}=q=\frac{\mu}{1-\varepsilon^{2}}$$\frac{\varepsilon}{1-\varepsilon^{2}}$$y_{0}=q$

$p=q\smash[b]{\sqrt{|1-\varepsilon^{2}|}}=\frac{\mu}{\smash[b]{\sqrt{|1-\varepsilon^{2}|}}}$$\frac{\varepsilon}{\smash[b]{\sqrt{|1-\varepsilon^{2}|}}}$

$\varepsilon=1$$\varepsilon\to 1$ .

4. Вираз у вигляді параметричної кривої

$x=\frac{(\epsilon+1) \cos (\alpha )}{\sin (\alpha )+\epsilon(\epsilon+2)}$

$y=\frac{\sqrt{\epsilon (\epsilon+2)} (\sin (\alpha )-1)}{\sin (\alpha )+\epsilon (\epsilon+2)},$

де $\alpha$$\alpha=\pi/2$$V$

Про те, як можна використовувати ці формули, дивіться це .

На закінчення ...

Хтось бачив формули вище в якомусь поважному джерелі, можливо, в контексті моделювання того, як Земля виглядає з космосу? Якщо так, чи могли б ви повідомити мені, що це за джерело?

Спасибі!

Крива, яку ви шукаєте, - це просто перетин площини (задньої частини камери) та правого кругового конуса. Це насправді не питання про землю чи погляди планет з космосу; це просто проста геометрия 3D координат. Щоб знайти посилання, я б рекомендував шукати "перетин площини і конуса" або "площинний переріз конуса", або "площинний переріз квадрика", щось подібне.

Я очікую, що ви можете знайти відповідні формули (та виводи) в будь-якому стандартному тексті на геометрії 3D координат. Деякі ймовірні місця:

• Лосось - трактат про аналітичну геометрію трьох вимірів
• Сомервіль - аналітична геометрія трьох вимірів
• Снайдер і Сісам - аналітична геометрія космосу

Це все досить старі книги, і у вас можуть виникнути проблеми з їх пошуком.

Ви також можете спробувати запитати на Math.StackExchange.

Назвати деривацію "оригінальним дослідженням" мені здається абсурдом. Це проблема домашніх завдань середньої школи з аналітичної геометрії.