Відображення текстури на гіперболічний трикутник

Я на деякий час застряг, як підійти до цього, тому будь-які пропозиції будуть вдячні вам!

Я хочу зіставити текстуру у вигляді правого нижнього евклідового трикутника до гіперболічного трикутника на диску Пуанкаре.

Ось текстура (верхній лівий трикутник текстури прозорий і невикористаний). Ви можете визнати це частиною Межі кола Ешера

Вибачте, дивіться коментар, оскільки мені не дозволяється публікувати більше двох посилань!

Ось так виглядає мій багатокутник (він зосереджений на початку, а це означає, що два ребра - прямі, проте загалом усі три ребра будуть круговими дугами):

Центр багатокутника - це інцентр евклідового трикутника, утворений його вершинами, і я ультрафіолетово відображаю текстуру, використовуючи її інцентр, розділяючи його на таку ж кількість граней, як і багатокутник, і відображаючи кожну грань на відповідну грань полігона. Однак результат виглядає приблизно так:

Якщо хтось думає, що це вирішується за допомогою УФ-карти, я би радий надати приклад коду, проте я починаю вважати, що це може бути неможливим, і мені доведеться написати власні функції картографування.

ВИРІШЕНО деяким уточненням відповіді @ Натана нижче, оскільки лінії AB, AC, BC можуть насправді бути дугами, а не лініями.

Спосіб: виберіть найдовшу сторону, скажімо BC, а потім поділіть її на парну кількість частин. Інші дві сторони поділіть на однакову кількість частин. Тоді лінії, що з'єднують ці (DE у відповіді нижче), насправді також повинні бути дугами, а не прямими. Розділіть ці необхідні нові дуги, додайте нові трикутники як грані, а потім УФ-карту нижнього правого трикутника текстури до цих нових граней.

Простий? Зовсім ні. Але це спрацювало.

Я здогадуюсь, що для того, щоб текстура виглядала правильно, вам доведеться також розділити внутрішню частину трикутника і наблизити нелінійне УФ-відображення всередині нього.

Наразі схоже, що ви розділяєте краї трикутника і утворюєте віяло менших трикутників між ребром та спонукачем. Це було б добре, якби ви просто рендерирували трикутник суцільним кольором. Але застосовуючи текстуру, ви отримуєте розриви на межах цих підрозділів, тому що текстура просто натягується лінійно по кожному поділеному трикутнику і неправильно наближається до гіперболічного відображення вздовж радіального напрямку.

Вам потрібно буде розділити обидві осі, приблизно так:

і розташувати всі вершини належним чином у просторі екрану та ультрафіолетовому просторі для наближення гіперболічних координат у внутрішній частині трикутника. Якщо підрозділити досить тонко, це повинно створити ілюзію безперервного викривлення текстуру.