tl; dr: Математична задача в геометрії проективності: як можна знайти матрицю камери 4x4, яка дає проекцію, як показано нижче, такі, що точки A, B, C, D знаходяться десь на краях одиничного блоку (наприклад, нормалізований пристрій OpenGL координати), а кути блоку одиниці падають десь розумно вздовж променів EA, EB, EC, ED?
(Це може бути особливий випадок, можливо, гомографії, перспективності та / або колінеації. Не знайомий з термінологією.)
опрацювання
Враховуючи чотирикутник ABCD у вікні перегляду, я думаю, існує унікальне (?) Перетворення, яке відображає його назад у прямокутник. Як видно із зображення нижче: чотирикутник ABCD у вікні перегляду виступає фізичним "вікном", і якщо ми повернемо його до прямокутника, він виявиться спотвореним.
(поле праворуч представляє NDC, про який я розповім пізніше)
Мета - швидко отримати зображення праворуч. Ми могли б простежити кожну точку, щоб отримати зображення (що я зробив), але я вважаю за краще використовувати OpenGL або інші проективні методи, тому що хотів скористатися такими речами, як змішування, примітиви тощо.
перша спроба
Я вважаю, що я можу вирішити проблему пошуку матриці камери 3x4, яка робить 3 + 1-мірну однорідну координату в 3-просторі (зліва) і спроектує її вниз на 2 + 1 розмірну однорідну координату в 2-просторі (на право). Вирішити це можна за допомогою прямого лінійного перетворення, щоб отримати систему рівнянь Ba=0для невідомих записів aматриці камери та вирішити систему за допомогою розкладання сингулярного значення.(SVD). Я б вважав вектори EA, EB, EC, ED (де E - ваше фізичне око або камера у світовому просторі) як точки на попередньому зображенні, і (0,0), (1,0), (1 , 1), (0,1) або щось подібне до точок на пост-зображенні, і кожна пара точок дала б декілька лінійних рівнянь для підключення до SVD. Отримана матриця відображатиме EA -> (0,0) тощо (якщо припустимо, що існує достатня ступінь свободи, тобто якщо рішення унікальне, в чому я не впевнений, див. Примітку [a])
Але, на превеликий жаль, це не так, як OpenGL працює. OpenGL не проектує безпосередньо 3d-2d з матрицею 3x4. OpenGL вимагає "нормалізованих координат пристрою" (NDC), які є тривимірними точками. Після проектування в NDC, все у вікні "одиниця" складається від (-1, -1, -1,1) до (1,1,1,1); все зовні відсікається (оскільки ми маємо справу з однорідними координатами: будь-яка точка (x, y, z, w) з'явиться на екрані лише у випадку, якщо перші три координати (x / w, y / w, z / w) , 1) знаходяться в коробці одиниць від -1 до 1).
Тож виникає питання: чи існує якась обґрунтована трансформація, яка відображає якусь дивну кубовидну кубоїду в однорідних координатах (зокрема кубоїді, намальованій зліва, з ABCD (передні точки) та A'B'C'D '(зворотні точки, приховані за передніми точками)) до одиничного куба, наприклад, використовуючи матрицю 4x4? Як це зробити?
що я спробував
Я спробував щось сильніше: я зробив ABCD і A'B'C'D 'схожими на звичайний пірамідальний фруструм (наприклад, gl frustrum) (тобто в цій гіпотетичній установці зображення ліворуч буде просто чорним прямокутником, накладеним на це, а не чотирикутник), а потім використовував DLT / пряме лінійне перетворення для вирішення імовірної матриці 4x4. Однак коли я спробував це, здавалося, не вистачало ступеня свободи ... отримана матриця 4x4 не відображала кожен вхідний вектор на кожен вихідний вектор. Під час використання A, B, C, D, A '(5 пар векторів перед трансформацією та після трансформації) я / майже / отримую результат, який я хочу ... вектори відображаються правильно, але, наприклад, B', C ', D' відображаються на (3,3,1,1) замість (-1, -1,1,1) і відсікаються OpenGL. Якщо я спробую додати шосту точку (6 пар точок для матриці 4x4 до проекту), моє рішення здається виродженим (нулі, нескінченність). Скільки ступенів свободи я маю тут справу, і чи можливо це за допомогою матриці 4x4, що відображає звичайні 4 вектори (3 + 1-мірні однорідні координатні вектори), які ми знаємо і любимо?
випадкові другорядні думки
Я здогадуюсь, що неможливо зіставити будь-яку довільну кубоїду до будь-якої довільної кубоїди з матрицею 4х4, хоча я збентежений, тому що я думав, що можна зіставити будь-який опуклий чотирикутник на будь-який інший опуклий чотирикутник у 2d з якоюсь матрицею, наприклад, у , скажімо, Photoshop? ... може / не можна цього зробити за допомогою проективного перетворення? І як це узагальнюється до 3d? ...... Також, враховуючи невдалу спробу знайти матрицю 4x4, лінійна алгебра говорить, що ми не повинні очікувати, що матриця NxN відобразить більше ніж N лінійно незалежних точок на N цільових точок в кращому випадку, але я відчуваю це якось однорідним Координати це обманюють, бо відбувається якась прихована узгодженість? Я думаю що ні?
інше рішення?
Я думаю, можна також зробити наступну потворну річ, де ви використовуєте типову матрицю проекції камери фрустру, знайдіть 2d точки, що відповідають кутам, а потім виконайте 2d перспективу спотворює гомографію, але якщо це відбудеться після надання пікселів (наприклад, фотошоп), тоді виникнуть проблеми з роздільною здатністю ... можливо, гіпотетично можна було б знайти матрицю для виконання цього перетворення на площині XY всередині NDC-простору, а потім скласти його за допомогою звичайної матриці на основі фрустру?
(Примітка [a]: Ступінь свободи: ABCD можна додатково обмежувати пост-зображенням проективного перетворення, що діє на прямокутник, якщо це необхідно ... тобто чорний прямокутник ліворуч можна сказати результат проектування графічної моделі фоторамки)