Є кілька способів відповісти на це питання: алгебраїчний шлях та геометричний шлях.
Алгебраїчно ми можемо ідентифікувати одиниці, які повинен мати BRDF, переглянувши його місце в рівнянні візуалізації. Класичним рівнянням візуалізації є:
Loutgoing(ω)=Lemitted(ω)+∫ΩLincoming(ω′)fBRDF(ω,ω′)(n⋅ω′)dω′
Вихідне значення зліва - це сяйво, тому результатом інтеграла також має бути сяйво. Інтеграл містить випромінювання, помножене на твердий кут , тому щось інше в інтегранд має скасувати цей коефіцієнт твердого кута. Коефіцієнт n ⋅ ω ′ є безрозмірним, і єдине інше, що є BRDF - тому для того, щоб вся справа вийшла, у BRDF повинні бути одиниці зворотного твердого кута. Еквівалентно BRDF можна розглядати як відношення випромінювання до опромінення, оскільки вони різняться коефіцієнтом твердого кута в знаменнику випромінювання.dω′n⋅ω′
Ще один спосіб бачити, що BRDF грає роль, схожу на щільність ймовірності. Якщо ви подивитеся, як працюють щільності ймовірності, вони мають одиниці, обернені до обсягу своєї області. Наприклад, 1D щільність ймовірності має одиниці оберненої довжини (ймовірність на одиницю довжини, але сама ймовірність є безрозмірною), 2D має одиниці оберненої площі тощо. BRDF діє так, як щільність вірогідності, визначена на півкулі, даючи ймовірність, що фотон, що надходить із заданого напрямку, відобразиться в якомусь іншому напрямку. Отже, як і будь-яка інша щільність вірогідності в сферичній області, вона має одиниці оберненого твердого кута.
Геометрично ми можемо потрапити прямо до латунних зчепів і роз'єднати те, що відбувається в інтегралі рівняння візуалізації. Нагадаємо, що інтегральний засіб поділяє домен на крихітні шматочки та підсумовує інтеграл по всіх частинах (в межах, оскільки шматки нескінченно малі). Давайте розглянемо один такий твір. Інтегрант повинен призвести до нескінченно малої кількості випромінювання , оскільки ми збираємось підсумувати багато частин, щоб досягти кінцевого вихідного сяйва. Отже, один нескінченно малий шматок інтеграла виглядає так:dL
dL=LincomingfBRDF(n⋅ω′)dω′
Lincoming(n⋅ω′)dω′dω′dE
dL=fBRDFdE
або
fBRDF=dLdE
Отже, BRDF виступає як константа пропорційності між нескінченно малим опроміненням, що надходить на поверхню від нескінченно малого твердого кута, і генерованим при цьому нескінченно малим випромінюванням. Це не могло бути співвідношенням випромінювань, тому що у нас є кінцеве вхідне сяйво, і нам потрібне нескінченно мале вихідне сяйво, якщо ми хочемо підсумувати багато шматків інтеграла і отримати кінцевий результат. Для того, щоб це сталося, BRDF повинен був бути нескінченно малим, що ... в стандартній математиці не є річчю. :)
Я сподіваюся, що щось із цього допомагає. Існує безліч рівноцінних способів розглянути цю проблему, як і у багатьох предметах математики та фізики.