Чи можна перетворити 3d-матрицю обертання (4х4) на її складові частини (обертання, масштаб тощо)?

Щоб бути більш конкретним, я працюю над додатком для iOS і маю CATransform3Dструктуру (в основному масив трансформації 4x4).

Чи можна вивести всі різні "операції", з яких випливає ця матриця? Такі речі, як обертання, масштаб і т. Д. Це означає?

transformations

— ельсурудо
джерело

Можна розкласти матрицю $\mathbf{M} = \mathbf{TRS}$ на основні перетворення: переклад, масштабування та обертання. Враховуючи цю матрицю:

M = [\begin{matrix} a_{00} & a_{01} & a_{02} & a_{03} \\ a_{10} & a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{20} & a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$\mathbf{M} = \begin{bmatrix} a_{00} & a_{01} & a_{02} & a_{03}\\ a_{10} & a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{20} & a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$\mathbf{t} = (a_{03}, a_{13}, a_{23})$

$\mathbf{s} = (s_0, s_1, s_2)$

\begin{matrix} s_{0} = ‖ (a_{00}, a_{10}, a_{20}) ‖ \\ s_{1} = ‖ (a_{01}, a_{11}, a_{21}) ‖ \\ s_{2} = ‖ (a_{02}, a_{12}, a_{22}) ‖ \end{matrix}

$\begin{matrix} s_0 = \left \|(a_{00}, a_{10}, a_{20}) \right \|\\ s_1 = \left \|(a_{01}, a_{11}, a_{21}) \right \|\\ s_2 = \left \|(a_{02}, a_{12}, a_{22}) \right \|\\ \end{matrix}$

Тепер у вас є шкала, ви можете позбутися її за допомогою підматриці яка відповідає , помноживши матрицю на обернену шкалу на get $3\times 3$ $\mathbf{RS}$ $\mathbf{S}^{-1}$ $\mathbf{R}$

\begin{aligned} {(R S) S}^{- 1} & = [\begin{matrix} a_{00} & a_{01} & a_{02} \\ a_{10} & a_{11} & a_{12} \\ a_{20} & a_{21} & a_{22} \end{matrix}] {[\begin{matrix} s_{0} & 0 & 0 \\ 0 & s_{1} & 0 \\ 0 & 0 & s_{2} \end{matrix}]}^{- 1} \\ = [\begin{matrix} a_{00} & a_{01} & a_{02} \\ a_{10} & a_{11} & a_{12} \\ a_{20} & a_{21} & a_{22} \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 / s_{0} & 0 & 0 \\ 0 & 1 / s_{1} & 0 \\ 0 & 0 & 1 / s_{2} \end{matrix}] \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf{(RS)S}^{-1} &= \begin{bmatrix} a_{00} & a_{01} & a_{02}\\ a_{10} & a_{11} & a_{12}\\ a_{20} & a_{21} & a_{22}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s_0 & 0 & 0\\ 0 & s_1 & 0\\ 0 & 0 & s_2 \end{bmatrix}^{-1} \\ &= \begin{bmatrix} a_{00} & a_{01} & a_{02}\\ a_{10} & a_{11} & a_{12}\\ a_{20} & a_{21} & a_{22}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1/s_0 & 0 & 0\\ 0 & 1/s_1 & 0\\ 0 & 0 & 1/s_2 \end{bmatrix} \end{align}$

Таким чином ( ): $\mathbf{(RS)S}^{-1} = \mathbf{RI} = \mathbf{R}$

R = [\begin{matrix} a_{00} / s_{0} & a_{01} / s_{1} & a_{02} / s_{2} \\ a_{10} / s_{0} & a_{11} / s_{1} & a_{12} / s_{2} \\ a_{20} / s_{0} & a_{21} / s_{1} & a_{22} / s_{2} \end{matrix}]

$\mathbf{R} = \begin{bmatrix} a_{00}/s_0 & a_{01}/s_1 & a_{02}/s_2\\ a_{10}/s_0 & a_{11}/s_1 & a_{12}/s_2\\ a_{20}/s_0 & a_{21}/s_1 & a_{22}/s_2\\ \end{bmatrix}$

Це остаточна матриця обертання. Можна далі розкласти його, використовуючи багато способів. Він досить тривалий, але ви можете шукати декомпозицію матриці обертання .

Цей метод дає лише еквівалентні значення у вигляді перекладу, масштабування та обертання (оригінальна матриця, можливо, є результатом інших типів перетворень). Може виникнути проблеми з точністю з плаваючою точкою з кутами повороту, якщо ви додатково використали розкладені кути, в обчисленнях можуть накопичуватися помилки округлення. Не слід використовувати його, якщо ви самі не побудували матрицю.

Якщо ви є тим, хто сконструював матрицю і хотів декомпозиції, щоб мати можливість редагувати та відображати переклад, масштаб та обертання окремо і незалежно , ймовірно, найчистіше, чому потрібно зберігати компоненти , і в класі перетворення окремо як вектори (можливо, кватерніон для обертання). Тільки коли вам потрібна матриця перетворення, з цих компонентів матрицю (Ви можете кешувати матрицю, поки якийсь компонент не буде змінений). $\mathbf{t}$ $\mathbf{s}$ $\mathbf{r}$ $\mathbf{TRS}$

— user5488
джерело

Чи можете ви уточнити, які проблеми з точністю з плаваючою комою? Я не бачу в цьому способі нічого, що могло б викликати проблеми з точністю, якщо тільки шкала не є надзвичайно екстремальною. Також варто зауважити, що цей метод може виявитися невдалим, якщо матриця була складена з послідовності матриць, яка включає як неоднорідні шкали, так і обертання. матриця вийде не бути обертання в цьому випадку, але буде включати в себе деяке зрушення.

R

$\mathbf{R}$

— Натан Рід

Усі номери з плаваючою комою мають внутрішню (обмежену) помилку. Кожен раз, коли ви виконуєте операції, зокрема складання чи віднімання, ви ускладнюєте помилку, збільшуючи величину меж. В алгоритмі декомпозиції приховано багато операцій додавання (як у множенні матриці, так і в обчисленні величини масштабу) та квадратного кореня (у шкалі). Подальше розкладання введе подальшу помилку.

— Тімбо

@Timbo Тут немає жодного повного множення матриць, хоча просто множення стовпців матриці на обернені шкали. А векторна величина передбачає додавання всіх позитивних величин, тому катастрофічного скасування там немає; це не створює великої відносної помилки, AFAICT. У будь-якому випадку автор уточнив, що вони говорять про подальше розкладання матриці обертання на кути Ейлера чи подібні, що має більше сенсу.

— Натан Рід

Спасибі - чудова відповідь. Наступні дії: щоб повернути оригінальну матрицю назад, я припускаю, що нам потрібно дотримуватися певного порядку операцій, починаючи з матриці ідентичності. Чи буде це замовлення TRS?

— ельсурудо