Якщо є підмножиною , то як ми можемо показати, що є регулярним?

Скажіть, . Тоді як ми можемо довести, що є регулярним?$L \subseteq \{0\}^*$$L^*$

Якщо регулярний, то звичайно також є регулярним. Якщо кінцевий, то він регулярний і знову регулярний. Також я помітив, що для , не є регулярним, і є регулярним.$L$$L^*$$L$$L^*$$L = \{0^p \mid p \text{ is a prime}\}$$L$$L \subseteq \{0\}^*$$L^*$

Але як показати це для будь-якої підмножини в ?$L$$\{0\}^*$

Припустимо, що містить два слова і такі, що довжина цих слів,та, не мають спільних факторів. Тоді ми маємо, що найдовше слово, яке неможливо утворити шляхом об'єднання цих слів, має довжину ( число Фробеніуса ). Тобто, якщо в мові є слова, довжини яких не мають спільного чинника, то всі слова певної мінімальної довжини знаходяться в мові . Неважко помітити, що це регулярно, оскільки, за необхідності, існує обмежене число класів еквівалентності за відношенням Міхілла-Нерода.$L$$w_1$$w_2$$|w_1|$$|w_2|$$(|w_1|-1)(|w_2|-1) - 1$$L^*$

Що робити, якщо довжини всіх слів у мають спільний фактор? Ну, не важко помітити, що в таких випадках також є регулярним. Просто зауважте, що замість усіх слів, довжини яких перевищують деяку мінімальну довжину в , натомість буде правдою, що всі слова, довжини яких кратні довжині слів GCD, будуть у , і жодних слів довжина яких не кратна цього GCD буде, і оскільки є регулярним для будь-якого цілого , також є регулярним.$L$$L^*$$L^*$$L^*$$(L^k)^*$$k$$L^*$

Це досить неформально, але все, що потрібно для формалізації цього, має бути тут.

Основна ідея полягає в тому, що в мові, побудованій на однобуквенному алфавіті, кожне досить довге слово є сполученням коротших слів. Отже, коли ви берете слово в , тобто сполучення слів у , є ядро таке, що є конкатенацією слів у . Таким чином . Виходить, що є кінцевим, отже, і є регулярними.$w$$L^*$$L$$\mathring{L}$$w$$\mathring{L}$$L^* = \mathring{L}^*$$\mathring{L}$$L^*$

Нехай підмножина і слова в . може бути виражена сполученням слів у iffможе бути виражено у вигляді суми елементів , де являє собою набір довжин слів в . Таким чином, проблема зводиться до вираження цілого числа у вигляді суми цілих чисел у певному наборі (з дозволеними повторами): canвиражається як з і ?$M$$L$$w$$L$$w$$L$$|w|$$S \subset \mathbb{N}$$S$$M$$|w|$$k_1 s_1 + \ldots + k_m s_m$$\forall i, s_i \in S$$k_1 \in \mathbb{N}$

Це добре відома арифметична проблема, і відповідь полягає в тому, що якщо коефіцієнти можуть бути негативними ( ),представима тоді і тільки тоді воно кратно найбільший спільний дільник елементів : . З вимогою до негативних коефіцієнтів це все ще справедливо для досить великих.$(k_i)$$k_i \in \mathbb{Z}$$|w|$$S$$\gcd S$$|w|$

Розглянемо нескінченну послідовність визначену . Це зменшується послідовність цілих чисел (починаючи з , тому вона є константною після певного індексу ; і За китайською теоремою залишків кожен елемент може бути виражається як з і . Якщо і тоді ви можете вибрати всі негативні коефіцієнти.$(g_i)_{i\ge\min S}$$g_i = \gcd (S \cap [0,i])$$g_{\min S} = \min S$$j$$g_j = \gcd S$$S$$k_1 s_1 + \ldots + k_m s_m$$\forall i, k_i \in \mathbb{Z}$$\{s_1, \ldots, s_m\} = S \cup [0,j]$$x \in S$$x \ge s_1 \cdot \ldots \cdot s_m$

Досить арифметики. Нехай . Кожне слово в може бути виражене сполученням слів у , довжина яких становить не більше , тобто . Оскільки у нас також є , у нас є , що є регулярним, оскільки є кінцевим, отже, регулярним.$\mathring{L} = \{w \in L \mid |w| \le g_j\}$$L$$L$$g_j$$L \subseteq \mathring{L}^*$$\mathring{L} \subseteq L$$L^* = \mathring{L}^*$$\mathring{L}$

Крім того, використовуйте характеристику звичайних мов в однобуквених алфавітах .