Показано, що проблема в X не є X-Complete

18

Теорія Екзистенціальна з реалів в PSPACE , але я не знаю , чи є це PSPACE-Complete . Якщо я вважаю, що це не так, то як я можу це довести?

Більш загально, враховуючи проблему в класі складності X , як я можу показати, що він не є X-Complete ? Наприклад, X може бути NP , PSPACE , EXPTIME .

complexity-theory proof-techniques

— Дейв Кларк
джерело

Звичайно, це непросто, і ніхто не може надати відповідь на вашу загальну частину :-) У мене занадто багато проблем, я знаю, що вони є NP, але я не знаю, чи вони NP-Complete чи ні (ні занадто багато інших людей).

16

Насправді довести $X$ - це не $PSPACE$ -повне (за, скажімо, скорочення поліноміального часу) було б надзвичайно важко зробити.

Якщо $P=PSPACE$ , то все нетривіальні (тобто, не $\varnothing$ , а не $\Sigma^{\star}$ ) і нескінченні проблеми в $PSPACE$ є $PSPACE$ -повне під скороченнями поліноміальний час. Оскільки екзистенціальна теорія реалів має цю нетривіальну і нескінченну властивість, доведення, що це не $PSPACE$ незавершеність, означало б . (Дивітьсявідповідь на це запитання на CSTheory.SEдля ескізу доказу.) $P \neq PSPACE$

— Райан Вільямс
джерело

1

Звичайно, схоже, що я кусаю більше, ніж можу жувати, так би мовити.

— Дейв Кларк

11

Проблема в не є завершеною, якщо в є якісь інші проблеми, які не можна звести до неї. Один метод простий (але , можливо , лише в силу очевидних прикладів) доводили б ваша проблема також в який - то інший складності класу таке , що . $X$ $X$ $X$ $Y$ $Y \subset X$

Наприклад, якщо ви хочете , щоб показати , що ваша проблема не повна, то досить , щоб показати , що він знаходиться в , так як . Тим НЕ менше, якщо ви хочете , щоб показати , що проблема не є -повний, то це не обов'язково достатньо , щоб показати , що він знаходиться в , тому що не відомо , чи буде чи ні . $EXPTIME$ $P$ $P \subsetneq EXPTIME$ $NP$ $P$ $P = NP$

— Джо
джерело

3

Подивіться на прийняту відповідь на це питання на MathOverflow. Які методи існують для того, щоб показати, що проблема не є NP-завершеною? . Він відповідає на випадок, коли X = NP.

— Мухаммед Аль-Туркстані
джерело

3

Як писав Райан, довести, що проблема не є складною, непросто.

Нехай є задачею в класі складності а - закрите wrt скорочення. Доведення, що не є твердим wrt , рівнозначно розділенню класу складності, отриманому шляхом закриття wrt . Тепер, якщо важко для іншого класу WRT , то це означає , відокремлюючи від . Як відомо, результатів поділу не так багато. $Q$ $X$ $S$ $\leq$ $Q$ $X$ $\leq$ $Q$ $\leq$ $Q$ $Y$ $\leq$ $Y$ $X$

У вашому випадку, , , а . $X = \mathsf{PSpace}$ $\leq = \leq^\mathsf{P}_m$ $Y=\mathsf{P}$

Тому що ми не можемо довести такі результати на даний момент (за можливим винятком Райана :), замість того, щоб довести, що не -твердий, ми показуємо, що він знаходиться в класі складності, який, як вважають, менший ніж . Наприклад, якщо ви покажете, що знаходиться в , то це буде сприйнято як вагомий доказ того, що не є $Q$ $X$ $X$ $\mathrm{Th}_\exists(\mathbb{R,+,\times,0,1})$ $\mathsf{PH}$ $Q$ $X$ -твердий. (Мовою логіків, якщо ви не можете довести безумовний результат, спробуйте довести умовний, якщо вважати важко доказовим, але широко поширеним твердженням, як ). $\mathsf{P}\neq\mathsf{PSpace}$

— Каве
джерело