Чи алгоритм Дейкстри є лише BFS з чергою пріоритетів?

22

Відповідно до цієї сторінки , алгоритм Дейкстри - це лише BFS з чергою пріоритетів. Це справді так просто? Я думаю, НЕ.

algorithms graphs shortest-path

1

Чому ти так вважаєш?

— Рафаель

@Raphael Тому що це здається занадто простим, і це: я вивчив це ще раз, і зараз я бачу, що він не відстежує відстань між вузлами, тому це дійсно BFS, а не Dijkstra.

— Barry Fruitman

1

Ну, Дейкстрой робить зміна значення по черзі «упорядкована» з (часто називається «релаксація»); якщо ви забороняєте це, це не те саме, правда.

— Рафаель

20

Можна реалізувати алгоритм Dijkstra як BFS з чергою пріоритетів (хоча це не єдина реалізація).

Алгоритм Дейкстри покладається на властивість, що найкоротший шлях від до - це також найкоротший шлях до будь-якої з вершин уздовж шляху. Це саме те, що робить BFS. $s$ $t$

Або в іншому ракурсі: як би поводився алгоритм Дейкстри, якби всі ваги були 1? Точно так, як BFS.

— Шаул
джерело

4

По-перше, як ми можемо адаптувати BFS до більш загального зваженого графіка ? $G = (V, E)$

Ось ідея з книги "Алгоритми (розділ 4.4)" Дасгупта та ін:

Для будь-якого ребра з (з вагою ), замінити її ребрами довжини , додаючи фіктивні вузли між і . $e = (u,v)$ $E$ $l_e$ $l_e$ $1$ $l_e - 1$ $u$ $v$

Як результат, ребра графіка результату мають усі одиничні довжини. Отже, ми можемо обчислити відстані в , запустивши BFS на . $G'$ $G$ $G'$

По-друге, як алгоритм Дікстра на перемагає BFS на перетвореному графіку ? $G$ $G'$

BFS на може бути дуже повільним , якщо деякі великі , тому що він витрачає занадто багато часу на обчислення відстані до цих фіктивних вузлів , що ми не дбаємо про взагалі. Алгоритм Dijkstra уникає цього, встановлюючи передбачувані відстані для вузлів і розслабляючи їх, коли це можливо. $G'$ $l_e$

По-третє, як поводиться алгоритм Дікстра на невагомих графах?

Він поводиться точно так само, як це робить BFS. Це ми детально розробляємо з двох основних моментів.

Про «релаксацію».

Для алгоритму Дейкстри на загальному, зваженому графіку релаксація є
```
for all edges (u,v) in E:
    if dist(v) > dist(u) + w(u,v)
       dist(v) = dist(u) + w(u,v)
```
$dist(v) = \infty$ $w(u,v) = 1$
```
for all edges (u,v) in E:
    if dist(v) = \infty
       dist(v) = dist(u) + 1
```
На "черзі пріоритету".

Коли алгоритм Dijkstra запускається на незваженому графіку, у будь-який час черга пріоритетів містить щонайбільше два різних (відстані) значення. Тому черги FFO BFS є достатньою.

— хенксин
джерело