Чи мають будь-які два розкидані дерева простого графіка завжди спільні краї?

24

Я спробував декілька випадків і виявив, що будь-яке двома простими деревами простого графіка має деякі спільні краї. Я маю на увазі, що я не міг знайти жодного зустрічного прикладу. Але я це не міг довести або спростувати. Як довести чи спростувати цю здогадку?

graphs graph-theory spanning-trees

— Містер Зігма.
джерело

46

Ні, врахуйте повний графік : $K_4$

У нього є такі, що розрізаються по краю, що розкидаються дерева: введіть тут опис зображення

— Бьорн Кьос-Ганссен
джерело

2

Ви можете зробити кожне з дерев плоским, взявши одне з образних, а друге образне. Можна зробити всю річ планарною, намалювавши край від верхньої правої вершини до нижньої лівої вершини як крива, що виходить за межі квадрата.

N

$N$

Z

$Z$

— Накопичення

@kelalaka Нам не потрібен повний графік, ні (уявіть, що ви робите таку саму штуку на - якщо я не , у вас є кілька невикористаних країв, які можна видалити, завдяки чому він більше не буде завершений (тому що кожна вершина потребує 2-4 пройдених ребер, з'єднаних з нею, і кожна вершина в має 5 ребер, тому кожна вершина прикріплена принаймні до одного невикористаного краю)). - це, мабуть, найкращий приклад - він добре відомий, легко візуалізується (порівняно небагато країв) та має дуже прості дерева, що обгортаються.

K_{5}

$K_5$

K_{5}

$K_5$

K_{4}

$K_4$

— Позов по

14

Для більш зацікавлених читачів є кілька досліджень щодо декомпозиції графіка на дерева, що перебувають у розрізі, що перетинаються .

$n$ $k$

$K_{4k+2}$ ${2k+1}$

Наприклад, паперова факторизація повних графіків на розкинуті дерева з усіма можливими максимальними градусами Петра Коваржа та Майкла Кубеса показує, як розподілити на опущення дерев із заданим максимальним ступенем. $K_{2n}$

Ви можете шукати більше. Наприклад, пошук в Google для розкладання графіка на дерева, що охоплюють .

— Apass.Jack
джерело

9

EDIT: Це неправильно, як зазначено в коментарях. Як свідчить інша відповідь, дерево, що охоплює може бути виконано без спільного використання країв. $K_4$

Ні, це неправда, що будь-які два розкинуті дерева графа мають спільні краї.

Розглянемо колісний графік:

Можна зробити розкидисте дерево з краями «всередині» петлі та ще одне з зовнішньої петлі.

— Гокул
джерело

3

але зовнішня петля не досягає центрального вузла

— amI

Ви маєте рацію, я видалю цю відповідь, коли вистачить іншої.

— Гокул

10

Ви можете змінити це, взявши зовнішній цикл мінус деякий "акорд" плюс деякий "радіус" та його доповнення.

— boboquack

Так. Насправді я бачив саме так. @boboquack

— Містер Сігма.

3

$K_n$ $n\geq4$

$2$

$K_n$ $n\geq4$ $n\geq4$ $2$

$2$

$2$ $2$
Чи є інший графік, окрім колеса чи колеса, як його підграф, що має розкинуті дерева з розрізненими краями?

— Містер Зігма.
джерело

На ці запитання і далі відповіді були отримані у цитованих мені документах. Якщо вам цікаво, можете поглянути.

— Apass.Jack

Дякую @ Apass.Jack Я бачив вашу відповідь. Поглянемо на це.

— Містер Сігма.

1

$K_{2k}$

G_{1} = {(v_{2 i}, v_{2 i + 1}), (v_{2 i}, v_{2 i + 2}), \dots, (v_{2 k - 2}, v_{2 k - 1})},

$G_1 = \{ (v_{2i},v_{2i+1} ),(v_{2i},v_{2i+2}),\dots,(v_{2k-2},v_{2k-1})\},$

G_{2} = {(v_{2 i + 1}, v_{2 i + 2}), (v_{2 i}, v_{2 i}), \dots (v_{2 (k - 1)}, v_{2 (k - 1)})}

$G_2 = \{ (v_{2i+1},v_{2i+2}),(v_{2i},v_{2i}),\dots(v_{2(k-1)},v_{2(k-1)})\}$

$0\leq i < k$

$n$ $n+1$

— Накопичення
джерело

0

Якщо на графіку є міст (тобто край, видалення якого від'єднує графік), то цей край повинен належати кожному дереву, що охоплює. Інтуїтивно зрозумілий, міст - це єдиний край, що з'єднує дві його кінцеві точки, і тому обов'язково належить до кожного підключеного підграфа.

З іншого боку, якщо край графіку належить до циклу, то існує дерево, що охоплює, що не містить цього краю.

Отже, якщо кожен край графіка належить до циклу, то жодне ребро не є спільним для всіх діючих дерев (тобто перетин крайових наборів дерев, що обговорюються, є порожнім набором).

— мо2019
джерело