Математика перетворення з будь-якої бази на будь-яку базу, не проходячи через базу 10?

Я розглядав математику, яка перетворюється з будь-якої бази на будь-яку базу. Це скоріше про підтвердження моїх результатів, ніж будь-що. Я знайшов свою відповідь на mathforum.org, але я все ще не впевнений, чи правильно я це маю. У мене перетворення з більшої бази на меншу базу вниз нормально, тому що це просто взяти першу цифру, помноживши на базу, ви хочете додати наступне повторення цифри. Моя проблема виникає при перетворенні з меншої бази на більшу базу. Роблячи це, вони говорять про те, як потрібно перетворити більшу базу, яку ви хочете, у меншу, яку ви маєте. Прикладом може бути перехід від бази 4 до бази 6, вам потрібно перетворити число 6 в базу 4, отримавши 12. Потім ви просто зробите те саме, що ви робили, перетворюючи велике в мале. Складність, з якою я маю це, мабуть, вам потрібно знати, що одне число знаходиться в іншій базі. Тож мені потрібно було б знати, що таке 6 в основі 4. Це створює велику проблему в моїй свідомості, тому що тоді мені знадобиться таблиця. Хтось знає спосіб зробити це кращим чином.

Я думав, що базове перетворення допоможе, але я не можу знайти цю роботу. І з сайту, який я знайшов, це, здається, дозволяє вам перетворити з бази на базу, не проходячи базову 10, але спочатку потрібно знати, як перетворити перше число з бази на базу. Це робить його свого роду безглуздим.

Коментатори кажуть, що мені потрібно вміти перетворювати лист у число. Якщо так, я вже це знаю. Однак це не моя проблема. Моя проблема полягає в тому, щоб перетворити велику базу на малу, мені потрібно спершу перетворити базове число, яке я маю, в базовий номер, який я хочу. Роблячи це, я перемагаю мету, тому що якщо я маю можливість перетворити ці бази на інші бази, я вже вирішив свою проблему.

Редагувати: я придумав, як перетворити з баз менше 10 рівних в інші бази, менші або рівні 10. Я також можу перейти з бази, що перевищує 10, до будь-якої бази, що становить 10 або менше. Проблема починається при перетворенні з бази більше 10 на іншу базу більше 10. Або перехід з бази менше 10 на базу більше 10. Мені не потрібен код Мені просто потрібна основна математика за ним, яка може бути застосовано до коду.

Це здається мені дуже основним питанням, тож вибачте, якщо я вас трохи прочитаю. Найважливішим моментом, який ви повинні дізнатися тут, є те, що число не є його цифрним поданням . Число є абстрактним математичним об'єктом, тоді як його цифрове зображення - це конкретна річ, а саме послідовність символів на папері (або послідовність бітів у обчислювальній пам'яті, або послідовність звуків, які ви видаєте під час передачі числа). Те, що вас бентежить, це те, що ви ніколи не бачите числа, а завжди його цифрного зображення. Отже, ви думаєте, що число - це представлення.

Отже, правильне запитання - це не "як перетворити з однієї бази в іншу", а "як я дізнаюся, яке число представлене заданим рядком цифр", а "як знайти цифрове представлення задане число ".

Тож давайте виробимо дві функції в Python, одну для перетворення цифрового представлення в число, а іншу для того, щоб робити зворотне. Примітка. Коли ми запускаємо функцію Python, звичайно, буде друкувати на екрані число, яке вона отримала в базі 10. Але це не означає, що комп'ютер зберігає цифри в базі 10 (це не так). Не має значення, як комп’ютер представляє числа.

def toDigits(n, b):
    """Convert a positive number n to its digit representation in base b."""
    digits = []
    while n > 0:
        digits.insert(0, n % b)
        n  = n // b
    return digits

def fromDigits(digits, b):
    """Compute the number given by digits in base b."""
    n = 0
    for d in digits:
        n = b * n + d
    return n

Спробуймо:

>>> toDigits(42, 2)
[1, 0, 1, 0, 1, 0]
>>> toDigits(42, 3)
[1, 1, 2, 0]
>>> fromDigits([1,1,2,0],3)
42

Озброївшись функціями перетворення, ваша проблема вирішується легко:

def convertBase(digits, b, c):
    """Convert the digits representation of a number from base b to base c."""
    return toDigits(fromDigits(digits, b), c)

Тест:

>>> convertBase([1,1,2,0], 3, 2) 
[1, 0, 1, 0, 1, 0]

Примітка: ми не пройшли представлення базової 10! Ми перетворили подання в число, а потім число в базу c . Число не було в жодному представництві. (Насправді це було так, комп'ютер повинен був якось представляти його, і він представляв його за допомогою електричних сигналів та фанк-штук, що відбувається в мікросхемах, але, безумовно, це були не 0-х та 1-х.)$b$$c$

Я думаю, що найкращий спосіб зрозуміти це - це обговорення з іноземцем (принаймні, як аналогія).

Визначення - це число в базі $x$$b$ означає, що - рядок цифр < b .$x$$<b$

Приклади Рядок цифр 10010011011 - це число в базі 2, рядок 68416841531 - це число в базі 10, BADCAFE - число в базі 16.

Тепер припустимо, що я виріс на планеті QUUX, де всіх навчають працювати в протягом усього життя, і я зустрічаю вас, хто звик базувати b . Отже, ти покажи мені номер, і що я роблю? Мені потрібен спосіб його інтерпретувати:$q$$b$

Визначення Я можу інтерпретувати число в базі (Примітка: b - число в базі q ) за такою формулою$b$$b$$q$

$$\begin{array}{rcl} [\![\epsilon]\!] &=& 0 \\ [\![\bar s d]\!] &=& [\![\bar s]\!] \times b + d \end{array}$$

де позначає порожній рядок, а ˉ з d позначає рядок , що закінчується в значному д . Дивіться мій доказ того, що додаток додає до вступу до цієї нотації.$\epsilon$$\bar s d$$d$

То що ж тут сталося? Ви дали мені число в базі і я інтерпретував це в базі q без будь-якої дивної філософії про те, що насправді є числами.$b$$q$

Ключове Ключове значення в цьому полягає в тому, що і + I - це функції, які працюють на базових q числах. Це прості алгоритми, визначені рекурсивно на базових числах q (рядки цифр).$\times$$+$$q$$q$

---

Це може здатися трохи абстрактним, оскільки я використовую змінні, а не фактичні числа протягом усього часу. Отже, припустимо, що ви є базовою істотою 13 (використовуючи символи ), і я звик базувати 7 (що набагато розумніше), використовуючи символи α β γ δ ρ ρ ρ ξ .$0123456789XYZ$$\alpha \beta \gamma \delta \rho \zeta \xi$

Отже, я бачив ваш алфавіт і склав його так:

$$\begin{array}{|c|c||c|c||c|c|} \hline 0 & \alpha & 1 & \beta & 2 & \gamma \\ 3 & \delta & 4 & \rho & 5 & \zeta \\ 6 & \xi & 7 & \beta\alpha & 8 & \beta\beta \\ 9 & \beta\gamma & X & \beta\delta & Y & \beta\rho \\ & & Z & \beta\zeta & & \\ \hline \end{array}$$

$\beta\xi$

$60Z8$

$$\begin{array}{rcl} [\![60Z8]\!] &=& \xi (\beta\xi)^3 + \alpha (\beta\xi)^2 + \beta \zeta (\beta\xi) + \beta\beta \\ \end{array}$$

$\beta \zeta \times \beta\xi$

Квітна таблиця множення

$$\begin{array}{|c|cccccc|} \hline \\ \times & \beta & \gamma & \delta & \rho & \zeta & \xi \\ \hline \beta & \beta & \gamma & \delta & \rho & \zeta & \xi \\ \gamma & \gamma & \rho & \xi & \beta\beta & \beta\delta & \beta\zeta \\ \delta & \delta & \xi & \beta\gamma & \beta\zeta & \gamma\beta & \gamma\rho \\ \rho & \rho & \beta\beta & \beta\zeta & \gamma\gamma & \gamma\xi & \delta\delta \\ \zeta & \zeta & \beta\delta & \gamma\beta & \gamma\xi & \delta\rho & \rho\gamma \\ \xi & \xi & \beta\zeta & \gamma\rho & \delta\delta & \rho\gamma & \zeta\beta \\ \beta\alpha & \beta\alpha & \gamma\alpha & \delta\alpha & \rho\alpha & \zeta\alpha & \xi\alpha \\ \hline \end{array}$$

$\beta \zeta \times \beta\xi$

$$\begin{array}{ccc} & \beta & \zeta \\ \times & \beta & \xi \\ \hline & \xi & \gamma \\ & \rho & \\ \beta & \zeta & \\ \hline \delta & \beta & \gamma \\ \gamma & & \\ \end{array}$$

тож у мене це далеко

$$\begin{array}{rcl} [\![60Z8]\!] &=& \xi (\beta\xi)^3 + \alpha (\beta\xi)^2 + \beta \zeta (\beta\xi) + \beta\beta \\ &=& \xi (\beta\xi)^3 + \alpha (\beta\xi)^2 + \delta \beta \gamma + \beta\beta \\ \end{array}$$

Тепер мені потрібно виконати додавання за допомогою алгоритму, про який було сказано раніше:

$$\begin{array}{ccc} \delta & \beta & \gamma \\ & \beta & \beta \\ \hline \delta & \gamma & \delta \\ \end{array}$$

так

$$\begin{array}{rcl} [\![60Z8]\!] &=& \xi (\beta\xi)^3 + \alpha (\beta\xi)^2 + \beta \zeta (\beta\xi) + \beta\beta \\ &=& \xi (\beta\xi)^3 + \alpha (\beta\xi)^2 + \delta \beta \gamma + \beta\beta \\ &=& \xi (\beta\xi)^3 + \alpha (\beta\xi)^2 + \delta \gamma \delta \\ \end{array}$$

$$[\![60Z8]\!] = \zeta\delta\xi\gamma\rho.$$

---

$q$$b$$q$

Це лише рефакторинг (Python 3) коду Андрія . У кодах Андрія номери представлені через перелік цифр (скалярів), тоді як у наступних кодових числах представлено список списків символів, узятих із користувацького рядка :

def v2r(n, base): # value to representation
    """Convert a positive number to its digit representation in a custom base."""
    b = len(base)
    digits = ''
    while n > 0:
        digits = base[n % b] + digits
        n  = n // b
    return digits

def r2v(digits, base): # representation to value
    """Compute the number represented by string 'digits' in a custom base."""
    b = len(base)
    n = 0
    for d in digits:
        n = b * n + base[:b].index(d)
    return n

def b2b(digits, base1, base2):
    """Convert the digits representation of a number from base1 to base2."""
    return v2r(r2v(digits, base1), base2)

Щоб здійснити перетворення від значення до представлення у спеціальній базі:

>>> v2r(64,'01')
'1000000'
>>> v2r(64,'XY')
'YXXXXXX'
>>> v2r(12340,'ZABCDEFGHI') # decimal base with custom symbols
'ABCDZ'

Щоб здійснити перетворення від представлення (у користувацькій базі) до значення:

>>> r2v('100','01')
4
>>> r2v('100','0123456789') # standard decimal base
100
>>> r2v('100','01_whatevr') # decimal base with custom symbols
100
>>> r2v('100','0123456789ABCDEF') # standard hexadecimal base
256
>>> r2v('100','01_whatevr-jklmn') # hexadecimal base with custom symbols
256

Для здійснення перетворення бази з однієї бази даних на інший:

>>> b2b('1120','012','01')
'101010'
>>> b2b('100','01','0123456789')
'4'
>>> b2b('100','0123456789ABCDEF','01')
'100000000'

Фундаментальна операція перетворення бази - це toDigits()операція відповіді @AndrejBauer. Однак для цього немає необхідності створювати число у внутрішньому представленні чисел, що в основному є перетворенням з представлення 2 та базовим. Ви можете зробити необхідні операції в оригінальному базовому поданні.

Отже, перший крок - зробити повторювану операцію поділу модуля

def convertBase(n,original_base,destination_base):
    digits = []    
    while not is_zero(n):
        digits.insert(0,modulo_div(n,original_base,destination_base))
    return digits

Оскільки внутрішнє представлення - це цифри, потрібно зробити спеціалізовану функцію для тестування нуля

def is_zero(n):
    for d in n:
        if d != 0:
            return False
    return True

Врешті-решт треба зробити операцію modulo_div, яка насправді є стандартним поділом за базовим призначенням, як ми дізналися в школі.

def modulo_div(n,original_base,destination_base):
    carry = 0
    for i in range(len(n)):
        d = n[i]
        d+=original_base*carry 
        carry = d%destination_base 
        d=(d//destination_base)
        n[i] = d
        #print(i,d,carry)
    return carry

просто перевірка перевірки правильності коду:

print(convertBase([1,1,2,0], 3, 2))
#[1, 0, 1, 0, 1, 0]

print(convertBase([1, 0, 1, 0, 1, 0], 2, 3))
#[1, 1, 2, 0]

Я знаю простий спосіб здійснити конвертацію бази, який не вимагає комп'ютерної програми. Це шляхом визначення способу перетворення з будь-якої бази в базу 2 і навпаки, а потім покриття з однієї бази в іншу, спочатку перетворення з першої бази в базу 2, а потім перетворення з бази 2 в іншу. 2 так просто множити або ділити на будь-яку базу.

Щоб перетворити з будь-якої бази в базу 2, все, що вам потрібно зробити, це визнати, що для будь-якого числа, якщо ви берете його позначення бази 2 і починаєте з 0, а потім для кожної цифри в порядку зліва направо, подвійний, якщо ця цифра дорівнює нулю і подвійний, ніж додати 1, якщо ця цифра дорівнює 1, ви отримаєте саме це число. Враховуючи це число в будь-якій базі, ви можете ділити на 2 в цій базі, щоб отримати коефіцієнт і залишок. Якщо залишок дорівнює 1, остання двійкова цифра дорівнює 1, а залишок - 0, остання двійкова цифра - 0. Знову поділіться на 2. Якщо залишок дорівнює 1, друга остання цифра дорівнює 1, а решта - 0, друга остання цифра дорівнює 0 і так далі, поки не отримаєте коефіцієнт 0.

Щоб перетворити з бази 2 в будь-яку базу, все, що вам потрібно зробити, - це в цій базі, почніть з 0, а потім для кожної двійкової цифри, що йде зліва направо, двічі в цій базі, якщо ця цифра дорівнює 0, і подвійне, а потім додайте 1 у цьому базовий, якщо ця цифра дорівнює 1.

Ви можете конвертувати з бази n до бази 10 без будь-якого перетворення на якусь проміжну базу.

Наприклад, для перетворення з бази n в базу 9, ви берете алгоритм перетворення в базу 10 і замінюєте "10" на "9". Те саме для будь-якої іншої бази.