Кількість слів заданої довжини у звичайній мові

Чи існує алгебраїчна характеристика кількості слів заданої довжини у звичайній мові?

Вікіпедія констатує результат дещо неточно:

Для будь-якого регулярного мови існують константи і многочлени таким чином, що для кожного числа з слова довжиною в задовольняють рівнянню . $L$ $\lambda_1,\,\ldots,\,\lambda_k$ $p_1(x),\,\ldots,\,p_k(x)$ $n$ $s_L(n)$ $n$ $L$ $s_L(n)=p_1(n)\lambda_1^n+\dotsb+p_k(n)\lambda_k^n$

Не вказано, в якому просторі живе ( , я припускаю), і чи потрібно, щоб функція мала негативні цілі значення для всіх . Мені б хотілося точного твердження та ескізу чи посилання на доказ. $\lambda$ $\mathbb{C}$ $\mathbb{N}$

Питання про бонус: чи дійсно зворотне, тобто задана функція цієї форми, чи завжди є звичайна мова, кількість слів на якусь довжину дорівнює цій функції?

_{Це питання узагальнює кількість слів у звичайній мові $(00)^*$}

formal-languages regular-languages word-combinatorics

— Жил "ТАК - перестань бути злим"
джерело

ескіз доказу є тут

— Артем Казнатчеєв

@ArtemKaznatcheev Цікаво, дякую. Чи могли б ви перенести свою відповідь на це питання, яке воно краще підходить?

— Жил "ТАК - перестань бути злим"

Я вважаю, що це питання трохи зайве (хоча і більш загальне). Узагальнення мого підходу до доказування трохи волохате, але я погляну після обіду.

— Артем Казнатчеєв,

@ArtemKaznatcheev Дякую У мене виникли проблеми з другою частиною вашої відповіді, поширюючись на зменшені DFA.

— Жил "ТАК - перестань бути злим"

@vzn Класичним є факт, що функція утворення кількості слів у звичайній мові є раціональною, що негайно передбачає формулу ОП (у правильній формі). Важкою частиною є витяг асимптотики. Детальніше ви можете переглянути (наприклад) книгу Аналітична комбінаторика, згадана у моїй відповіді.

— Yuval Filmus

Відповіді:

Враховуючи регулярну мову , розглянемо деяку DFA, що приймає , нехай - її матриця передачі ( - кількість ребер, що ведуть від стану до стану ), нехай - характерний вектор початкового стану, і нехай бути характерним вектором приймаючих станів. Тоді $L$ $L$ $A$ $A_{ij}$ $i$ $j$ $x$ $y$

s_{L} (n) = x^{T} A^{n} y .

$s_L(n) = x^T A^n y.$

Теорема Йордана стверджує, що над складними числами схожий на матрицю з блоками однієї з форм Якщо , то $A$

(\begin{matrix} λ \end{matrix}), (\begin{matrix} λ & 1 \\ 0 & λ \end{matrix}), (\begin{matrix} λ & 1 & 0 \\ 0 & λ & 1 \\ 0 & 0 & λ \end{matrix}), (\begin{matrix} λ & 1 & 0 & 0 \\ 0 & λ & 1 & 0 \\ 0 & 0 & λ & 1 \\ 0 & 0 & 0 & λ \end{matrix}), \dots

$\begin{pmatrix} \lambda \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}, \ldots$

λ \neq 0

$\lambda \neq 0$

n

$n$ Потужність цих блоків становить

Ось як ми отримали ці формули: записати блок як

. Послідовні сили

це послідовні вторинні діагоналі матриці. Використовуючи біноміальну теорему (використовуючи той факт, що

зв'язується з

(\begin{matrix} λ^{n} \end{matrix}), (\begin{matrix} λ^{n} & n λ^{n - 1} \\ 0 & λ^{n} \end{matrix}), (\begin{matrix} λ^{n} & n λ^{n - 1} & (\binom{n}{2}) λ^{n - 2} \\ 0 & λ^{n} & n λ^{n - 1} \\ 0 & 0 & λ^{n} \end{matrix}), (\begin{matrix} λ^{n} & n λ^{n - 1} & (\binom{n}{2}) λ^{n - 2} & (\binom{n}{3}) λ^{n - 3} \\ 0 & λ^{n} & n λ^{n - 1} & (\binom{n}{2}) λ^{n - 2} \\ 0 & 0 & λ^{n} & n λ^{n - 1} \\ 0 & 0 & 0 & λ^{n} \end{matrix}), \dots

$\begin{pmatrix} \lambda^n \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda^n & n\lambda^{n-1} \\ 0 & \lambda^n \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda^n & n\lambda^{n-1} & \binom{n}{2} \lambda^{n-2} \\ 0 & \lambda^n & n\lambda^{n-1} \\ 0 & 0 & \lambda^n \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda^n & n\lambda^{n-1} & \binom{n}{2}\lambda^{n-2} & \binom{n}{3}\lambda^{n-3} \\ 0 & \lambda^n & n\lambda^{n-1} & \binom{n}{2}\lambda^{n-2} \\ 0 & 0 & \lambda^n & n\lambda^{n-1} \\ 0 & 0 & 0 & \lambda^n \end{pmatrix}, \ldots$

B = λ + N

$B = \lambda + N$

N

$N$

λ

$\lambda$

N

$N$

Коли

, блок є нільпотентним, і ми отримуємо такі матриці (позначення

дорівнює

якщо

іншому випадку):

Б^{н} = (λ + н)^{N} = λ^{н} + н λ^{н - 1} N + (\binom{н}{2}) λ^{н - 2} N^{2} + \dots .

$B^n = (\lambda + n)^N = \lambda^n + n \lambda^{n-1} N + \binom{n}{2} \lambda^{n-2} N^2 + \cdots.$

λ = 0

$\lambda = 0$

[n = k]

$[n = k]$

1

$1$

n = k

$n=k$

0

$0$

(\begin{matrix} [н = 0] \end{matrix}), (\begin{matrix} [н = 0] & [н = 1] \\ 0 & [н = 0] \end{matrix}), (\begin{matrix} [н = 0] & [н = 1] & [н = 2] \\ 0 & [н = 0] & [н = 1] \\ 0 & 0 & [н = 0] \end{matrix}), (\begin{matrix} [н = 0] & [н = 1] & [н = 2] & [н = 3] \\ 0 & [н = 0] & [н = 1] & [н = 2] \\ 0 & 0 & [н = 0] & [н = 1] \\ 0 & 0 & 0 & [н = 0] \end{matrix})

$\begin{pmatrix} [n=0] \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} [n=0] & [n=1] \\ 0 & [n=0] \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} [n=0] & [n=1] & [n=2] \\ 0 & [n=0] & [n=1] \\ 0 & 0 & [n=0] \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} [n=0] & [n=1] & [n=2] & [n=3] \\ 0 & [n=0] & [n=1] & [n=2] \\ 0 & 0 & [n=0] & [n=1] \\ 0 & 0 & 0 & [n=0] \end{pmatrix}$

$A^n$ $\binom{n}{k} \lambda^{n-k}$ $[n=k]$

с_{L} (н) = \sum_{i} p_{i} (н) λ_{i}^{н} + \sum_{j} c_{j} [н = j],

$s_L(n) = \sum_i p_i(n) \lambda_i^n + \sum_j c_j [n=j],$

λ_{i}, c_{j}

$\lambda_i,c_j$

p_{i}

$p_i$ $n$

с_{L} (н) = \sum_{i} p_{i} (н) λ_{i}^{н} .

$s_L(n) = \sum_i p_i(n) \lambda_i^n.$

$s_L(n)$ $\lambda_i$ $\lambda_1$

с_{L} (н) = p_{1} (н) λ_{1}^{н} (1 + о (1)) .

$s_L(n) = p_1(n) \lambda_1^n (1 + o(1)).$

λ

$\lambda$

d

$d$

s_{L}

$s_L$

n

$n$

d

$d$

λ

$\lambda$

d

$d$

p_{0}, \dots, p_{d - 1}

$p_0,\ldots,p_{d-1}$

λ_{0}, \dots, λ_{d - 1}

$\lambda_0,\ldots,\lambda_{d-1}$

с_{L} (н) = н^{p_{н (мод г)}} λ_{н (мод г)}^{н} (1 + о (1)) .

$s_L(n) = n^{p_{n\pmod{d}}} \lambda_{n\pmod{d}}^n (1 + o(1)).$

— Юваль Фільм
джерело

$L \subseteq \Sigma^*$

$\qquad \displaystyle L(z) = \sum\limits_{n \geq 0} |L_n|z^n$

$L_n = L \cap \Sigma^n$ $|L_n|=s_L(n)$

$L(z)$

$\qquad \displaystyle \frac{P(z)}{Q(z)}$

$P,Q$ $L$ $L(z)$

$Q$ $|L_n|$ $(|L_n|)_{n \in \mathbb{N}}$

— Рафаель
джерело

L_{n}

$L_n$

@Gilles Аналітична Комбінаторика , книги по Ейленберг, книга Berstel, Reutenauer

— вул

@Gilles Автоматичні теоретичні аспекти формальної енергетичної серії.

— uli

Q (z) = 1

$Q(z)=1$

k \geq n_{0}

$k \geq n_0$

@Raphael Так, моє мислення було схожим ... це, мабуть, є досить серйозним недоліком у викладі теореми, якщо вона не стосується кінцевих мов, оскільки (a) кінцеві мови є регулярними, (b) теорема Має на увазі, що кінцеві мови не є регулярними, і (c) визначення того, чи є мова кінцевою, (взагалі) не можна визначити ... Я маю на увазі, Міхілл-Нероде та лемма накачки не мають такої проблеми; вони працюють для кінцевих мов.

— Patrick87