Чи існує двійковий код довжиною 6, розміром 32 та відстані 2?

Проблема полягає в тому, щоб довести або спростувати існування , st, ; ; . ( означає відстань підбивання)$C$$|c| = 6,\forall c\in C$$|C| = 32$$d(c_i,c_j)\geq2,1\leq i<j\leq32$$d$

Я намагався побудувати задовольняючий код. Найкраще, що я можу отримати, - це дозволити , конкатенацію , що має розмір 16. 32 є теоретичною верхньою межею розміру, тепер я розумію Я не знаю, що робити далі, щоб вирішити проблему.$C = C'\times C'$$C' = \{000,011,110,101\}$

Так, є такий набір. Ви насправді на правильному шляху, щоб знайти наступний приклад.

Нехай . Ви можете перевірити наступне.$C = \{c : |c|=6 \text{ and there are even number of 1's in c}\}$

• $|C|=32$ .
• $d(u,v)\geq2$ для всіх , . (Насправді, або 4 або 6.)$u,v\in C$$u\not=v$$d(u,v)=2$

Ось чотири пов’язані з цим вправи, перелічені в порядку зростання складності. Як і в питанні, стосується лише двійкового коду.

Вправа 1. Наведіть ще один приклад набору з 32 слів довжиною 6 і попарно відстань принаймні 2.

Вправа 2. Покажіть, що існує лише два таких набори, як зазначено у відповіді та у вправі 1.

Вправа 3. Узагальнюйте сказане до слів будь-якої заданої довжини та попарно відстані принаймні 2. (Підказка, .)$32=2^{6-1}$

Вправа 4. (подальше узагальнення зазначено у відповіді Юваля) Якщо - максимальний розмір коду довжини та мінімальної попарної відстані , то .$A(n,d)$$n$$d$$A(d,2d)=A(n-1,2d-1)$

Всі слова парного парності з лінійного коду з кодовими словами та мінімальною відстані .$2^{n-1}$$2$

Більш загально, якщо - максимальний розмір коду довжини і мінімальної відстані , то .$A_2(n,d)$$n$$d$$A_2(n,2d) = A_2(n-1,2d-1)$