Важливість нормальних форм, таких як норма Хомського для CFG

Я розумію, що без контексту граматики можна використовувати для представлення без контекстних мов. У нас також є нормальні форми, такі як Хомський і Грайбах нормальної форми. Я не міг зрозуміти необхідності цього.

Чому вони важливі в теорії мов? Усі підручники, про які я згадував, розповідають про ці звичайні форми, але нічого не розповідають про їх значення.

Існує щонайменше два релевантні варіанти використання.

1. Простота доказів
   Існує безліч доказів навколо безконтекстних граматик, включаючи скорочення та еквівалентність автомати. Це тим простіше, чим більш обмежений набір граматик, з якими вам доводиться стикатися. Тому нормальні форми там можуть бути корисними.

   В якості прикладу конкретного, Greibach нормальної форми використовуються , щоб показати (конструктивно) , що існує -перехід вільної КПК для кожного CFL (який не містить ε ).$\varepsilon$$\varepsilon$

2. Вмикає розбір
   Хоча КПК можна використовувати для розбору слів із будь-якою граматикою, це часто незручно. Звичайні форми можуть дати нам більше структури для роботи, що призводить до спрощення алгоритмів розбору.

   В якості конкретного прикладу алгоритм CYK використовує нормальну форму Хомського. Нормальна форма Грейбаха, з іншого боку, забезпечує рекурсивно-спускний аналіз; навіть якщо зворотний трек може бути необхідним, складність простору лінійна.

Нормальна форма Хомського дозволяє алгоритму багаточленного часу вирішити, чи може породжуватися рядка граматикою. Алгоритм досить гладкий, якщо ви знаєте динамічне програмування ...

Якщо довжина вашого вводу ( ) дорівнює n, то ви берете 2d масив ( A ) dim n x n .$I$$n$$A$$n$$n$

позначає всі символи в граматиці G, які можуть виводити підрядок I ( i , j ) .$A[i,j]$$G$$I(i,j)$

Отже, якщо містить символ початку ( S ), то це означає, що рядок I може бути отриманий S , що ми хотіли перевірити.$A[1,n]$$S$$S$

def decide (string s,grammar G):
    //base case
    for i=1 to n:
        N[i,i]=I[i]    //as the substring of length one can be generated by only a
                       terminal.
    //end base case

    //induction
    for s=1 to n:       //length of substring
        for i=1 to n-s-1: //start index of substring
            for j=i to i+s-1:   //something else
                 if there exists a rule A->BC such that B belongs to N[i,j] and C
                 belongs to N[j+1,i+s-1] then add A to N[i,i+s-1]
    //endInduction

    if S belongs to N[1,n] then accept else reject.

Я знаю, що показники здаються досить божевільними. Але в основному ось що відбувається.

$\epsilon$