Чому цей код однозначно розшифровується?

Джерело алфавіту: $\{a, b, c, d, e, f\}$

Код алфавіту: $\{0, 1\}$

$a\colon 0101$
$b\colon 1001$
$c\colon 10$
$d\colon 000$
$e\colon 11$
$f\colon 100$

Я вважав, що для того, щоб код був унікальним для декодування, він повинен бути без префіксу. Але в цьому коді кодове слово $c$ є префіксом кодового слова $f$ наприклад, тому воно не є префіксом. Однак мій підручник говорить мені, що його зворотний бік не має префікса (я цього не розумію), і тому його можна однозначно декодувати. Чи може хтось пояснити, що це означає, або чому це однозначно розшифровується? Я знаю, що це задовольняє нерівність Крафта, але це лише необхідна умова, а не достатня умова.

encoding-scheme

— 2000mroliver
джерело

Без префіксальних даних передбачається однозначне декодируемость, але це не твердження "якщо і тільки якщо". Дивіться, наприклад, тут .

— dkaeae

Гаразд, я бачу, але моя текстова книга говорить про це: Код А однозначно розшифровується, оскільки його зворотний бік є префікс-вільним, настільки однозначно розширюваний Ви розумієте, що вони означають під його зворотом?

— 2000mroliver

Напевно, просто код, отриманий за допомогою реверсування всіх кодових слів.

— dkaeae

і чому це означає однозначно декодируемость, я цього не розумію

— 2000mroliver

cможе бути префіксом bі f, але залишкові суфікси не існують у коді. Коли ви перевертаєте код, суфікси стають префіксами, а потім він стає префіксальним.

— Вармар

Відповіді:

Ваш код має властивість, що якщо ви перевернете всі кодові слова, то ви отримаєте код префікса. Це означає, що ваш код однозначно декодируемий.

Дійсно, розглянемо будь-який код $C = x_1,\ldots,x_n$ якій зворотна $C^R := x_1^R,\ldots,x_n^R$ однозначно декодіруемой. Я стверджую, що $C$ також унікально розширюється. Це тому, що

w = x_{i_{1}} \dots x_{i_{m}} if and only if w^{R} = x_{i_{m}}^{R} \dots x_{i_{1}}^{R} .

$w = x_{i_1} \ldots x_{i_m} \text{ if and only if } w^R = x_{i_m}^R \ldots x_{i_1}^R.$ На словах розкладання

w

$w$ в кодові слова

C

$C$ знаходяться у взаємно однозначна відповідність з розбивками

w^{R}

$w^R$ в кодові слова з

C^{R}

$C^R$ . Оскільки останні є унікальними, так і перші.

Оскільки коди префіксу однозначно декодируеми, то випливає, що реверс коду префікса також однозначно декодируемый. Це так у вашому прикладі.

$C$

\sum_{i = 1}^{n} 2^{- | x_{i} |} \leq 1.

$\sum_{i=1}^n 2^{-|x_i|} \leq 1.$

0, 01, 110.

$0,01,110.$

1

$1$

110

$110$

01^{*}

$01^*$

0

$0$

01

$01$

01^{*} 0

$01^*0$

\begin{array}{ccccc} prefix & 00 & 010 & 0110 & 01110 \\ codeword & 0 & 01 & 0 & 01 \end{array}

$\begin{array}{c|cccc} \text{prefix} & 00 & 010 & 0110 & 01110 \\\hline \text{codeword} & 0 & 01 & 0 & 01 \end{array}$

1

$1$

— Юваль Фільм
джерело

Здається, що в прикладі ОП ми не можемо розшифрувати перше кодове слово після фіксованої кількості цифр, існує нескінченно багато випадків: 1001010101010101…може бути або, fcccccc…або caaa…нам може знадобитися почекати до кінця введення, щоб вирішити.

— Бергі

1, 10, 00

$1,10,00$

@Bergi Це завжди декодируемо для будь-якої обмеженої кількості цифр. Завжди існує лише один спосіб декодування кодування без залишків. Будь-яка інша спроба закінчиться запасними 1 або 0. Це тому, що код однозначно розшифровується, якщо ми читаємо його хвостом спочатку. Теоретично, якщо щось однозначно розширюється в одному напрямку, немає сенсу, що може бути більше одного рішення в іншому напрямку

— slebetman

@slebetman Я мав на увазі кінцевий префікс (з можливими залишками). Так, якщо ми беремо весь вхід, він завжди розшифровується.

— Бергі

Якщо я надішлю вам будь-яке повідомлення, яке ви повинні розшифрувати, ви можете зробити наступне: Зворотне повідомлення, починаючи з останнього біта замість першого біта. Переверніть кодові слова. Розшифруйте повідомлення. Зворотний декодований рядок.

Ви можете це зробити, тому що після повернення до шести кодових слів ви отримуєте код без префіксу: 1010, 1001, 01, 000, 11, 001 є префіксом безкоштовно.

— gnasher729
джерело

Якщо без префіксу означає те, що я думаю, зворотний бік 'a' починається з 1, або 10, або 101, жоден з яких не є іншим цілком дійсним кодом.

Отже, якщо повідомлення закінчується на 0101, воно може бути лише "a", і ви можете застосувати аналогічну логіку до попередніх бітів.

Однак, що робити, якщо немає кінця для початку? Ну, якщо перший біт дорівнює 1, ви знаєте, що це не 'а' або 'd'. Другий біт усуне 'e' або {'b', 'c', 'f'}. Третій біт може звести його до одного вибору, але якщо ні, він є унікальним за четвертим бітом.

Як тільки ви перейдете до унікальної послідовності, ви перезапустите алгоритм на наступному біті.

— WGroleau
джерело