Чому P і P / poly тривіально не однакові?

Визначення P - це мова, яку можна визначити за допомогою багаточленного алгоритму часу. Визначення P / poly можна вважати мовою, яку можна визначити за схемою розміру полінома (див. Http://pages.cs.wisc.edu/~jyc/02-810notes/lecture09.pdf ). Тепер, чому не можна імітувати поліноміальну схему в поліноміальний час?

Справа про схеми полягає в тому, що схема має фіксовану кількість входів. Це означає, що для визначення мови нам потрібна сімейство схем$C_0, C_1, C_2, \dots$ такий, що схема $C_i$ розповідає, які рядки довжини $i$ є в мові, для кожного $i$. Це не вимагає, щоб між схемами існували будь-які зв’язки$C_i$ і $C_{i+1}$: вони могли бути зовсім іншими. Зокрема, для будь-якого набору $S\subseteq\mathbb{N}$, ви можете встановити оголошення $C_i=\mathrm{true}$ якщо $i\in S$ і $C_i=\mathrm{false}$ для $i\notin S$. Навіть якщо$S$ не можна визначити!

На противагу, мова в $\mathrm{P}$якщо є одна машина Тьюрінга, яка повідомляє, чи всі можливі введення будь-якої можливої ​​довжини є мовою Тепер ви не можете грати в будь-які смішні ігри про входи різної довжини.

Ви правильно, що ми можемо оцінити будь-яку фіксовану схему $\mathrm{P}$. Але цього не обов'язково достатньо, щоб визначитися з мовою$\mathrm{P/poly}$. Для цього нам спочатку потрібно обчислити довжину вводу, а потім використати її для визначення схеми $C_i$нам потрібно оцінити, а потім оцінити схему. Як показано в наведеному вище прикладі, частина "визначити, яка схема" може бути навіть не обчислюваною, не кажучи вже про обчислювану в поліноміальний час.