Мова з ірраціональним номером не є CFL

Я працюю над важкою вправою в підручнику, і просто не можу зрозуміти, як діяти далі. Ось проблема. Припустимо, у нас є мова де - деяке ірраціональне число. Як я можу довести, що не є контекстною мовою?$L = \{a^ib^j: i \leq j \gamma, i\geq 0, j\geq 1\}$$\gamma$$L$

У випадку, коли раціональна, побудувати граматику, яка приймає мову, досить легко. Але оскільки \ gamma нераціональна, я не знаю, що робити. Схоже, що тут не працює жодна з насосних лем. Можливо, теорема Париха працювала б тут, оскільки інтуїтивно здавалося б, що ця мова не має супроводжуючого напівлінійного зображення Париха.$\gamma$$\gamma$

Ця вправа - з "Другого курсу з формальних мов та теорії автоматів" Джефрі Шалліта, вправа 25 глави 4.

Я б дуже вдячний за будь-яку допомогу або підштовхує в правильному напрямку. Дякую!

Згідно теореми Париха, якби був без контексту, то множина була б напівлінійною, тобто це було б об'єднанням безлічі множин форма , для деяких .$L$$M = \{(a,b) : a \leq \gamma b \}$$S = u_0 + \mathbb{N} u_1 + \cdots + \mathbb{N} u_\ell$$u_i = (a_i,b_i)$

Очевидно , і , крім того для кожного , так як в противному випадку при досить великому . Тому (оскільки раціональний). Це означає, що кожен задовольняє .$u_0 \in M$$u_i \in M$$i > 0$$u_0 + N u_i \notin M$$N$$g(S) := \max(a_0/b_0,\ldots,a_\ell/b_\ell) < \gamma$$g(S)$$(a,b) \in S$$a/b \leq g(S)$

Тепер припустимо, що - об'єднання і визначимо . Вищевикладене показує, що кожен в об'єднанні задовольняє , і ми отримуємо протиріччя, оскільки .$M$$S^{(1)},\ldots,S^{(m)}$$g = \max(g(S^{(1)}),\ldots,g(S^{(m)})) < \gamma$$(a,b)$$a/b \leq g < \gamma$$\sup \{ a/b : (a,b) \in M \} = \gamma$

Коли раціональна, доказ не вдається, і дійсно є напівлінійним: Дійсно, за побудовою будь-яка пара у правій частині задовольняє (оскільки ). І навпаки, припустимо, що . У той час як і віднімаємо від . Врешті-решт (оскільки означає$\gamma$$M$

Кожна змінна, крім у цій відповіді означає позитивне ціле число. Загальновідомо, що з урахуванням ірраціональної існує послідовність раціональних чисел така, що ближче до ніж будь-яке інше раціональне число, менше ніж , знаменник якого менше .$\gamma$$\gamma>0$$\dfrac{a_1}{b_1}\lt\dfrac{a_2}{b_2}\lt\dfrac{a_3}{b_3}\lt\cdots \lt\gamma$$\dfrac{a_i}{b_i}$$\gamma$$\gamma$$b_i$

Виявляється, насосна лема справді працює!

Заради суперечності нехай - довжина накачування як мова без контексту. Нехай , слово, яке є але "ледве". Зверніть увагу, що . Розглянемо s = u v w x y , де | v x | > 1 і s n = u v n w x n y ∈ L для всіх n ≥ 0 .$p$$L$$s=a^{a_p}b^{b_p}$$L$$|s|>b_p\ge p$$s=uvwxy$$|vx|> 1$$s_n=uv^nwx^ny\in L$$n\ge0$

Нехай $t_a$ і $t_b$ - число $a$ s і $b$ s в $vx$ відповідно.

• Якщо $t_b=0$ або $\dfrac{t_a}{t_b}\gt\gamma$, для$n$досить велике, то ставлення числа$a$х, що і$b$и в$s_n$буде більшеніж$\gamma$, тобто$s_n\not\in L$.
• В іншому випадку, $\dfrac{t_a}{t_b}\lt\gamma$. Оскільки$t_b<b_p$,$\dfrac{t_a}{t_b}\lt \dfrac{a_p}{b_p}$ . Отже, р-т$\dfrac{a_p-t_a}{b_p-t_b}>\dfrac{a_p}{b_p}$ Оскільки$b_p-t_b<b_p$,$\dfrac{a_p-t_a}{b_p-t_b}>\gamma,$ якому говоритьсящо$s_0\not\in L$.

Вищенаведене протиріччя показує, що $L$ не може бути без контексту.

Ось дві пов'язані простіші вправи.

Вправа 1. Покажіть, що $L_\gamma=\{a^{\lfloor i \gamma\rfloor}: i\in\Bbb N\}$ не є контекстним, де $\gamma$ - ірраціональне число.

Вправа 2. Покажіть, що $L_\gamma=\{a^ib^j: i \leq j \gamma, i \ge0, j\ge 0\}$ без контексту, де $\gamma$ - раціональне число.