Зважена сума останніх N чисел

Припустимо, ми отримуємо номери в потоці. Після отримання кожного числа необхідно обчислити зважену суму останніх чисел, де ваги завжди однакові, але довільні.$N$

Наскільки ефективно це можна зробити, якщо нам дозволяють зберігати структуру даних, щоб допомогти в обчисленні? Чи можемо ми зробити краще, ніж , тобто перерахувати суму щоразу, коли число отримане?$\Theta(N)$

Наприклад: Припустимо, ваги . В один момент ми маємо список останніх чисел , і зважена сума .Н L 1 = ⟨ в , б , з , д ⟩ > S 1 = W 1 * + ш 2 * б + ш 3 * з + ш 4 * $W= \langle w_1, w_2, w_3, w_4\rangle$$N$$L_1= \langle a, b, c, d \rangle>$$S_1=w_1*a+w_2*b+w_3*c+w_4*d$

Коли буде отримано інше число, , ми оновлюємо список, щоб отримати і нам потрібно обчислити .л 2 = ⟨ б , з , д , е ⟩ S 2 = ш $e$$L_2= \langle b,c,d,e\rangle$$S_2=w_1*b+w_2*c+w_3*d+w_4*e$

Розгляд використання FFT Особливий випадок цієї проблеми, як видається, вирішується ефективно шляхом використання Швидкої перетворення Фур'є. Тут ми обчислимо зважені суми в упаковці . Іншими словами, ми отримуємо чисел і тільки тоді ми можемо обчислити відповідні зважених сум. Для цього нам потрібні минулі номери (для яких вже були обчислені суми) та нових чисел, загалом числа.$S$$N$$N$$N$$N-1$$N$$2N-1$

Якщо цей вектор вхідних чисел і ваговий вектор визначають коефіцієнти многочленів і , а коефіцієнти в зворотні, ми бачимо, що добуток є a многочлен, коефіцієнти якого перед до це саме зважені суми, яких ми шукаємо. Їх можна обчислити, використовуючи FFT за час, що дає нам у середньому час на номер введення.$W$$P(x)$$Q(x)$$Q$$P(x)\times Q(x)$$x^{N-1}$$x^{2N-2}$$\Theta(N*\log (N))$$Θ(\log (N))$

Це, однак, не є вирішенням проблеми, як заявлено, оскільки потрібно, щоб зважена сума була ефективно обчислена щоразу, коли надходило нове число - ми не можемо затримувати обчислення.

Ось розробка вашого підходу. Кожні ітерації ми використовуємо алгоритм FFT для обчислення m значень згортки за час O ( n log n ) , вважаючи, що наступні m значення дорівнюють нулю. Іншими словами, ми обчислюємо n - 1 ∑ i = 0 w i a t - i + k$m$$m$$O(n\log n)$$m$ де ш я є п ваги (або зворотні ваги), я це вхідна послідовність, т поточного часу і т ' = 0 для т ' > т .

$$\sum_{i=0}^{n-1} w_i a_{t-i+k}, \quad 0 \leq k \leq m-1,$$ $w_i$$n$$a_i$$t$$a_{t'} = 0$$t' > t$

Для кожної з наступних ітерацій ми можемо обчислити необхідну згортання у часі O ( m ) (для i- ї ітерації потрібен час O ( i ) ). Отже, амортизований час становить O ( m ) + O ( n log n / m ) . Це зводиться до мінімуму, вибираючи m = $m$$O(m)$$i$$O(i)$$O(m) + O(n\log n/m)$ , що дає амортизований час роботиO($m = \sqrt{n\log n}$.$O(\sqrt{n\log n})$

Ми можемо покращити це до найгіршого часу роботи шляхом розбиття обчислення на частини. Зафіксуйтеmі визначте b T , p , o = m - 1 ∑ i = 0 w p m + i a T m - i + o$O(\sqrt{n\log n})$$m$ Кожен C T , p залежить лише від 2 м входів, тому його можна обчислити за час O ( m log m ) . Також, враховуючи C ⌊ t / m ⌋ - p , p при 0 ≤ p ≤

$$b_{T,p,o} = \sum_{i=0}^{m-1} w_{pm+i} a_{Tm-i+o}, \quad C_{T,p} = b_{T,p,0}, \ldots, b_{T,p,m-1}.$$ $C_{T,p}$$2m$$O(m\log m)$$C_{\lfloor t/m \rfloor-p,p}$ , ми можемо обчислити згортку в часі O ( n / m + m ) . Таким чином, план полягає у підтримці списку C ⌊ t / m ⌋ - p , p$0 \leq p \leq n/m-1$$O(n/m + m)$ Для кожного періоду m входів нам необхідно оновлювати n / m з них. Кожне оновлення потребує часу O ( m log m ) , тому якщо ми розподілимо ці оновлення рівномірно, кожен вхід займе роботу O ( ( n / m 2 ) m log m ) = O ( ( n / m ) log m $$C_{\lfloor t/m \rfloor-p,p}, \quad 0 \leq p \leq n/m-1.$$ $m$$n/m$$O(m\log m)$$O((n/m^2) m\log m) = O((n/m) \log m)$. Разом із обчисленням самої згортки часова складність на вхід становить . Вибір m = $O((n/m)\log m + m)$ як і раніше, це даєO($m = \sqrt{n\log n}$.$O(\sqrt{n\log n})$