Скільки найкоротших відстаней змінюється, додаючи край до графіка?

Нехай - деякий повний, зважений, непрямий графік. Побудуємо другий графік , додаючи ребра по одному від до . Додасть кромки до в цілому. $G=(V,E)$ $G'=(V, E')$ $E$ $E'$ $\Theta(|V|)$ $G'$

Кожного разу, коли ми додаємо один край до , ми вважаємо найкоротші відстані між усіма парами в та . Ми підраховуємо, скільки цих коротких відстаней змінилося внаслідок додавання . Нехай - кількість найкоротших відстаней, що змінюються при додаванні го краю, і - кількість ребер, які ми додаємо в загальній складності. $(u,v)$ $E'$ $(V, E')$ $(V, E' \cup \{ (u,v) \})$ $(u,v)$ $C_i$ $i$ $n$

Наскільки великий ? $C = \frac{\sum_i C_i}{n}$

Як , так і . Чи можна покращити цю межу? Зауважте, що я визначаю, що є середнім по всіх доданих ребрах, тому єдиний раунд, в якому змінюється велика кількість відстаней, не такий цікавий, хоча це доводить, що . $C_i = O(|V|^2)=O(n^2)$ $C=O(n^2)$ $C$ $C = \Omega(n)$

У мене є алгоритм для обчислення геометричного t-гайкового ключа, який спрацьовує за час , тож якщо є , мій алгоритм швидший, ніж початковий жадібний алгоритм, і якщо є дійсно невеликий, потенційно швидший, ніж найкращий відомий алгоритм (хоча я сумніваюся в цьому). $O(C n \log n)$ $C$ $o(n^2)$ $C$

Деякі властивості, пов'язані з проблемою, які можуть допомогти добре обмежити: доданий край завжди має більшу вагу, ніж будь-який край, який вже є у графіку (не обов'язково строго більший). Крім того, його вага коротший, ніж найкоротший шлях між та . $(u,v)$ $u$ $v$

Можна припустити, що вершини відповідають точкам у 2d площині, а відстані між вершинами - це евклідові відстані між цими точками. Тобто, кожна вершина відповідає деякій точці у площині, а для ребра її вага дорівнює $v$ $(x,y)$ $(u,v)=((x_1,y_1),(x_2,y_2))$ $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2.}$

— Алекс десять Бринк
джерело

Візьміть дві кліки, з'єднані стежкою з двома краями. Додавання одного краю безпосередньо між кліками скорочує найкоротших шляхів.

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

— Луї

@Louis: так, є приклади, коли один край призводить до зміни багатьох відстаней, але чи існують графіки, у яких це відбувається для кожного доданого вами краю, або принаймні для багатьох з них? Саме тому я визначив середній рівень для всіх країв :)

C

$C$

— Алекс десять Бринк

Більшість ребер цього графіка, які можна додати, мають тип, який я описав ...

— Луї,

@Louis True. Кліки містять ребра, що більше, ніж я коли-небудь додаю до свого графіка.

O (n^{2})

$O(n^2)$

— Алекс десять Бринк

У мене була така ж проблема і раніше, але Мій графік був на зразок розріджених графіків з і я повинен був довести середні зміни O (1), але я не міг цього зробити :-). Але для вашого випадку я думаю, що якщо ви знайдете зв’язок між цим та рішенням APSP, ви можете отримати певні результати.

| E | = O (| V |)

$|E|=O(|V|)$

Розглянемо наступний лінійний ланцюг з вузлами, ребрами і порочно вибраними вагами: $n+1$ $n$

приклад
^{[ джерело ]}

$n \in \mathcal{O}(|V|)$ $(u_i,b_j)$ $i,j = 1,\dots,k$ $k \approx \frac{n}{4}$ $n \in \Theta(|V|)$ $\Theta(|V|)$ $\Theta(|V|^2)$

$n+2$ $u_{k-1}$ $b_{k-1}$ $(u_1,b_1)$ $\Theta(|V|^3)$

$(c_1,c_2)$ $\approx n$ $\approx \sum_{i=1}^{n}i^2 \in \Theta(n^3) = \Theta(|V|^3)$

— Рафаель
джерело

Це справді працює, і, крім того, ваш приклад можна трохи змінити, щоб стати Евклідовим. Дякую :)

— Олексій десять Бринк