Чи можемо ми генерувати випадкові числа, використовуючи ірраціональні числа, такі як π та e?

Ірраціональні числа, такі як $\pi$ , $e$ і $\sqrt{2}$ мають унікальну і неповторювану послідовність після коми. Якщо ми витягуємо$n$-туцифру з таких чисел (де$n$- це кількість разів, коли метод називається) і робимо число з цифрами, як це є, чи не можемо ми отримати ідеальний генератор випадкових чисел? Наприклад, якщо ми використовуємо$\sqrt{2}$ ,$e$і$\pi$, перше число - 123, друге - 471, наступне - 184 тощо.

Найбільш очевидним недоліком є ​​непотрібна складність алгоритмів PRNG на основі ірраціональних чисел. Вони вимагають набагато більше обчислень на генеровану цифру, ніж, скажімо, LCG; і ця складність, як правило, зростає по мірі подальшого послідовності. Обчислення 256 біт π у двоквадрілліонному біті зайняло 23 дні на 1000 комп'ютерах (ще в 2010 році) - досить непомірна складність для RNG.

Для будь-якого розумного визначення ідеального, описаний вами механізм не є ідеальним генератором випадкових чисел.

• Повторення недостатньо. Десяткове число $0.101001000100001\dots$ не повторюється, але це жахливий генератор випадкових цифр, оскільки відповідь "завжди" нуль, зрідка один, а ніколи більше нічого.

• Насправді ми не знаємо, чи кожна цифра зустрічається однаково часто в десятковому розширенні $\pi$ або  $\mathrm{e}$ (хоча ми підозрюємо, що вони є).

• У багатьох ситуаціях ми вимагаємо, щоб випадкові числа були непередбачуваними (дійсно, якби ви запитали випадкової людини, що означає "випадковий", вони, ймовірно, скажуть щось про непередбачуваність). Цифри відомих констант цілком передбачувані.

• Зазвичай ми хочемо генерувати випадкові числа досить швидко, але генерування послідовних цифр математичних констант, як правило, досить дороге.

• Однак правдою є те, що цифри $\pi$ і  $\mathrm{e}$ виглядають статистично випадковими, в тому сенсі, що кожна можлива послідовність цифр, здається, виникає приблизно так часто, як і слід. Так, наприклад, кожна цифра відбувається дуже близько одного разу з десяти; кожна двоцифрова послідовність дуже близька до однієї в сотні тощо.

Це криптографічно марно, оскільки противник може передбачити кожну цифру. Це також дуже трудомістко.

( оновлено після того, як багато людей зазначили, що генератор випадкових чисел - це не те саме, що й одна нормальна послідовність)

Якщо ви запитаєте, чи можна отримати нормальну послідовність з $\pi$ (тобто всі числа відображаються рівномірно), то на mathoverflow є кілька відповідей. Наприклад, відповідь про розподіл цифр Pi говорить:

... вважається, що $\pi$ - це нормальне число (~ рівномірний розподіл кожної послідовності цифр).

Дані про розподіл цифр див., Наприклад, http://www.eveandersson.com/pi/precalculated-frequency або https://thestarman.pcministry.com/math/pi/RandPI.html (перші 1000 цифр):

На mathoverflow також є приємні відповіді:

• Який стан нашого незнання щодо нормальності пі?
• Чи містить pi послідовно 1000 нулів?

Взагалі такий підхід не працює: "випадковість" не означає, що ви отримуєте багато різних цифр, але є й інші аспекти. Наприклад, класичний тест - це перевірити, чи всі двоцифрові або тризначні комбінації тощо відбуваються з однаковою частотою. Це був би дуже простий тест, який може виключати очевидні невипадкові результати, але все ще є надто спрощеним, щоб перевірити справді випадкову поведінку.

Дивіться сторінку Вікіпедії про тести на випадковість як сукупність посилань на першоджерела щодо цього. Вони згадують велику кількість досить складних за звучанням понять; не так важливо детально розбиратися в цьому - але зрозуміло, що не можна інтуїтивно оголосити конкретне число добрим джерелом для таких цифр.

З позитивної ноти: що стосується конкретного ірраціонального числа, ви, звичайно, можете просто спробувати його; тобто обчисліть число до достатньо великого ступеня цифр і запустіть його через усі відомі тести (для цього є інструменти, див. вище посилання). Якщо міра є достатньою для вашого випадку використання, і якщо ви знаєте, що це, очевидно, марно для криптографічних програм, і завжди отримуйте однакові цифри, якщо ви повинні почати спочатку, і що якість може погіршитися, якщо ви пройдете повз nобране вами для тестування випадковості ви можете використовувати ці числа. Але набагато краще буде використовувати виділений (псевдо-) генератор випадкових чисел; і ніщо не перемагає хорошого фізичного джерела випадковості.

Це забезпечує хороше випадкове число, поки ви не зрозумієте, як воно було вироблено, як і для багатьох псевдо випадкових чисел. Обрані вами ірраціональні (не алгебраїчні та не трансцендентальні) є загальними і простіше здогадатися, ніж інші. Я не бачу жодної проблеми з цим методом за умови вибору менш часто зустрічаються генераторів.