Різниця між мовами, прийнятими двома DFA з різними початковими / приймаючими станами?

Нещодавно я поставив запитання щодо Math SE. Ще немає відповіді. Це питання пов'язане з цим питанням, але більше технічних деталей щодо інформатики.

Дано два DFA $A = (Q, \Sigma, \delta, q_1, F_1)$і де набір станів, вхідний алфавіт та функція переходу і однакові, початкові стани і кінцеві (приймаючі) стани можуть бути різними . Нехай і бути мови , прийняті і відповідно.$B = (Q, \Sigma, \delta, q_2, F_2)$$A$$B$$L_1$$L_2$$A$$B$

Є чотири випадки:

1. $q_1 = q_2$ і .$F_1 = F_2$
2. $q_1 \neq q_2$ і .$F_1 = F_2$
3. $q_1 = q_2$ і .$F_1 \neq F_2$
4. $q_1 \neq q_2$ і .$F_1 \neq F_2$

Моє запитання

Які відмінності між та у випадках 2, 3 та 4?$L_1$$L_2$

У мене є більш конкретне запитання,

Моноїд переходу автомата - це сукупність усіх функцій на множині станів, індукованих вхідними рядками. Детальну інформацію див. На цій сторінці . Перехідний моноїд можна розглядати як моноїд, що діє на множину станів. Детальну інформацію див. На цій сторінці Wiki .

У багатьох літературах автомат називається сильно пов'язаним, коли моноїдна дія є транзитивною, тобто завжди існує принаймні один перехід (вхідний рядок) з одного стану в інший стан.

Якщо і сильно пов'язані автомати, які відмінності між та у випадках 2, 3 та 4 вище?$A$$B$$L_1$$L_2$

Будь-які літератури, що обговорюють ці питання детально?

Я шукав багато книг і статей і не знайшов нічого корисного до цих пір. Я вважаю, що у мене поки немає відповідних ключових слів. Таким чином я шукаю допомоги. Будь-які вказівки / посилання будуть високо оцінені.

З тих пір $A,B$ сильно пов'язані, тоді якщо $q_1\neq q_2$, є слова $p_1,p_2$ такий як $\delta(q_1,p_1)=q_2$ і $\delta(q_2,p_2)=q_1$.

Тоді розглянемо випадок 2 $w\in L(A)$ iff $p_2w\in L(B)$, і $x\in L(B)$ iff $p_1 x\in L(A)$. Таким чином, ви можете додати префікс для переключення між мовами.

Розглянемо випадок 3, а потім ще раз - завдяки сильному зв’язку там щонайбільше $|F_1|$ слова $s_1,...,s_k$ такий, що для кожного $q_i\in F_1$ у вас це є $\delta(q_i,s_i)\in F_2$, і аналогічно для іншого напрямку (від $B$ до $A$).

Таким чином, ви можете складати суфікси для переключення між мовами.

Поєднуючи ці, ви можете охарактеризувати відмінності, використовуючи префікси та суфікси. Наприклад, у випадку 4$w\in L(B)$ iff $p_1 w s_i$ в $L(A)$ для деяких $s_i$ у заздалегідь визначеному кінцевому наборі.

Насправді ви навіть можете сказати щось цікаве про ці слова: визначте $C$ бути DFA де $q_1$ - початковий стан і $q_2$ є остаточним станом, то у випадку 2 ви маєте $L(B)=L(C)\cdot L(A)$ (і аналогічно для іншого напрямку).

Що стосується суфіксів, то тут більше стосується речей, оскільки ви не можете заздалегідь визначити, у якому остаточному стані ви закінчитесь. Я не впевнений, що ви можете написати це як конкатенацію, але ви можете написати$L(B)=\bigcup_{q\in F_1}L(A_q)\cdot L(E_q)$ де $A_q$ - DFA, отриманий від $A$ налаштування $F=\{q\}$, і $E_q$ - це DFA, який починається в $q$ з кінцевими станами $F_2$.

Для випадку 4 ви можете об'єднати два.

Ви можете бути стурбовані тим, що це не реальна відповідь, а просто характеристика властивостей за допомогою слів, а не станів, але це типова відповідь у цій галузі (подібно до теореми Міхілла-Нерода).