Відбір проб ідеально збігається рівномірно

Припустимо , у мене є граф з на (невідомо) набір зроблене паросполучення . Припустимо, цей набір не порожній, тоді наскільки складно вибірково рівномірно вибирати ? Що робити, якщо я добре з розподілом, близьким до рівномірного, але не зовсім рівномірним, то чи є ефективний алгоритм? $G$ $M(G)$ $G$ $M(G)$

— Артем Казнатчеєв
джерело

Ви знаєте щось більше про ? Або іншими словами, вас би навіть зацікавили будь-які обмежені класи графіків?

G

$G$

— Juho

@Juho Я віддаю перевагу результатам для загальних графіків, зокрема для щільних графіків (тому, що згадує Юваль у своїй відповіді, здається перспективним). Я думаю, я бачив деякі результати для плоских графіків і раніше. Однак, оскільки це загальне питання, якщо у вас є відповідь на якісь цікаві сімейства графіків, відповіді, ймовірно, все-таки варто, оскільки інші, які шукають це питання, можуть знати.

— Артем Казнатчеєв

Щоб було зрозуміло, я припускаю, що у вас немає під рукою?

M (G)

$M(G)$

— Рафаель

@Raphael Я думаю, що питання було б тривіальним, якби ти. Насправді я думаю, що питання було б досить простим, якби у вас був, оскільки зазвичай існує відповідність між підрахунком та вибіркою. Або ти мав на увазі "під рукою" якийсь інший спосіб?

| M (G) |

$|M(G)|$

— Артем Казнатчеєв

Я бачу. Я визнав вашу фразу неоднозначною, яку я намагався виправити. Я правильно зрозумів?

— Рафаель

Відповіді:

Існує класичний стаття Джерума і Сінклера (1989) про вибірку ідеальних відповідностей із щільних графіків. Ще одна класична праця Джеррума, Сінклера і Вігоди (2004; pdf) обговорює вибірку ідеальних відповідностей з двопартійних графіків.

В обох цих паперах використовуються швидко змішувальні маркові ланцюги, і тому зразки лише майже однакові. Я думаю, що рівномірний відбір проб важкий.

— Юваль Фільм
джерело

Якщо ви припускаєте, що ваш графік є площинним, то для цієї проблеми вибірки існує поліноміальна процедура часу.

По-перше, проблема підрахунку кількості досконалих відповідностей знаходиться в P для плоских графіків. ( https://en.wikipedia.org/wiki/FKT_algorithm ) (Хороший виклад цього факту можна знайти в першій главі книги Джеррума про підрахунок, відбір проб та інтеграцію.)

Далі, для кожного ребра з , підраховують кількість зроблене паросполучення . Це може бути перетворено в ймовірність того, що рівномірний зроблене паросполучення містить - просто розділіть на кількість скоєних паросочетание . Зробіть кромку краю відповідно до цієї ймовірності та продовжте індуктивно. $e$ $G$ $G \setminus e$ $e$ $G$

(Це скориставшись тим, що відповідність є "самовідновлюваною" структурою, тому підрахунок проблем та однакові проблеми вибірки по суті однакові. Ви можете побачити JVV "Випадкове покоління комбінаторних структур з рівномірного розподілу" для більш детальної інформації про це точка зору.)

Простий доказ того, що це дає правильний розподіл:

Нехай позначає кількість упорядкованих ідеальних відповідностей у графіку як упорядковані послідовності. (Що в Разів перевищує кількість не упорядкованих ідеальних відповідностей, ) $c(H)$ $H$ $n!$ $n = H/2$

Нехай послідовність ребер, обраних у цій процедурі. Оскільки кожен крок був незалежним від попереднього, ймовірність вибору цієї послідовності ребер становить: $e_1, \ldots, e_n$

$\frac{ c(G \setminus e_1)}{c(G)} \frac{ c(G \setminus \{e_1, e_2\} )}{c(G \setminus e_1)} \ldots \frac{ c(G \setminus \{e_1, \ldots, e_{n-1} \}) }{c(G \setminus \{ e_1, \ldots, e_{n-2} \} )}$ .

Зауважте, що , оскільки - це лише край . Так що цей продукт телескопи і залишає . $c(G \setminus \{e_1, \ldots, e_{n-1} \}) = 1$ $G \setminus \{e_1, \ldots, e_{n-1} \}$ $e_n$ $1 / c(G)$

— Лоренцо Найт
джерело