Зірка вільної мови проти звичайної мови

Мені було цікаво, так як * сама зірка-вільний мову, є регулярний мову , який не є зіркою вільного мови? Чи можете ви навести приклад?$a^*$

(з wikipdia ) Лоусон визначає мови без зірок як:

За звичайною мовою кажуть, що вона не має зірки, якщо її можна описати за допомогою регулярного вираження, побудованого з літер алфавіту, порожнього набору символів, усіх булевих операторів - включаючи доповнення - та конкатенації, але немає зірки Клейна.

Ось доказ того, $a^*$ не має зірки:

$\emptyset$ є зіркою вільної$\Longrightarrow$
$\Sigma^*=\bar{\emptyset}$ є зірка вільної$\Longrightarrow$
Якщо ⊆ Е , то Е * Е * є зірка вільної ⟹ Якщо ⊆ Е , то * = ¯ Е * ( Е ∖ ) Е * є без зірок$A\subseteq\Sigma$$\Sigma^*A\Sigma^*$$\Longrightarrow$
$A\subseteq\Sigma$$A^*=\overline{\Sigma^*(\Sigma \setminus A)\Sigma^*}$

$A^*=\overline{\Sigma^*(\Sigma \setminus A)\Sigma^*}$$A^*$$\Sigma \setminus A$

Регулярні мови - це ті, які можна описати слабкою монадичною логікою другого порядку (WMSO) [1].

$<$

$(aa)^*$

1. Слабкі арифметичні та кінцеві автомати другого порядку від Бючі (1960)
2. Безконтактні автомати Макнафтона та Паперта (1971)

3. $(aa)^*$

   $\ \begin{align} \bigl[ \forall x. P_a(x)\bigr] \land \Bigl[ \exists x. P_a(x) \to \bigl[ \exists X. X(0) &\land [\forall x,y. X(x) \land \operatorname{suc}(x,y) \to \lnot X(y)] \\ &\land [\forall x,y. \lnot X(x) \land \operatorname{suc}(x,y) \to X(y)] \\ &\land [\forall x. \operatorname{last}(x) \to \lnot X(x)] \bigr] \Bigr] \;. \end{align}$

   $X$

4. Дивіться також тут .

Schützenberger (1965) дав алгебраїчну характеристику мов, що не містять зірок: звичайна мова не містить зірок тоді і лише тоді, коли її синтаксичний моноїд є аперіодичним. Всупереч логічній характеристиці (зірка-вільна = FO [<]), ця алгебраїчна характеристика дає алгоритм вирішити, чи є дана регулярна мова без зірок (звичайна мова може бути надана кінцевим автоматом, регулярним виразом або звичайна граматика). Використовуючи логічну характеристику (завдяки Мак-Нофтону та Паперту), можна вирішити таку проблему: чи є формула WMSO, чи є формула FO, що описує ту саму мову?

М.-П. Шютценбергер, Про кінцеві моноїди, що мають лише тривіальні підгрупи, Інформація та управління 8 (1965), 190-194.

Р. ~ Мак-Нофтон і С. ~ Паперт, автомати без контрресурсів, The MIT Press, Кембридж, Массачусетс, Лондон, 1971.

Повний доказ теореми Шютценбергера можна знайти в різних підручниках чи оглядових роботах. Елементарну презентацію відповідного алгоритму (без доказу) див

Ж.-Е. Пін, кінцеві напівгрупи та розпізнавані мови: вступ, в НАТО Інститут розширеного вивчення, напівгрупи, формальні мови та групи , Дж. Фонтан (ід.), 1-32, академічні видавці Kluwer, (1995).

Вільні мови зірок описуються регулярними виразами, які включають конкатенацію, доповнення, об'єднання, перетин, але не мають зірки Клінова.

Оскільки регулярні мови закриті в рамках усіх цих операцій (де доповнення є вирішальним моментом), то кожна мова, яка не має зірок, також є регулярною.

Можливо, ви маєте на увазі зворотне? Чи всі звичайні мови без зірок? Відповідь на останнє - ні. Докладніше див. У цьому документі .

Простий розділовий приклад - (aa) *. Більш досконалі: усі двійкові рядки з парним (або непарним) парним парним.