Докази суперечності нерівності P і NP?

Я намагаюся стверджувати, що N не є рівним NP, використовуючи теореми ієрархії. Це мій аргумент, але коли я показав це нашому вчителю і після відрахування, він сказав, що це проблематично, коли я не можу знайти переконливого приводу прийняти.

Почнемо, вважаючи, що . Тоді виходить, що який сам випливає, що . Як відомо, ми можемо зменшити кожну мову в до . Тому . Навпаки, теорема часової ієрархії стверджує, що повинна бути мова , це не в . Це призвело б до висновку, що знаходиться в , а не в , що суперечить нашому першому припущенню. Отже, ми дійшли висновку, що . $P=NP$ $\mathit{SAT} \in P$ $\mathit{SAT} \in TIME(n^k)$ $NP$ $\mathit{SAT}$ $NP \subseteq TIME(n^k)$ $A \in TIME(n^{k+1})$ $TIME(n^k)$ $A$ $P$ $NP$ $P \neq NP$

Чи щось не так у моєму доказі?

complexity-theory time-complexity p-vs-np

— перевернутий_index
джерело

Будь ласка, напишіть щось на зразок $\mathit{SAT}$ замість $SAT$ . Як писав Леслі Лампорт у своїй оригінальній книзі LaTeX, остання розшифровується як S S A Times T.

— Oliphaunt - відновити Моніку

А ще краще, використовуйте complexityпакет і просто пишіть \SAT. (Я думаю, що це недоступно в цій стеці.)

— Оліфаунт - відновити Моніку

@Oliphaunt Чому б не запропонувати редагувати, коли ви можете покращити публікацію? Хоча я мушу сказати, що тут різниця (якщо така є) набагато тонкіша, ніж я очікував.

— Дискретна ящірка

@Discretelizard я часто роблю, але на цей раз це було "занадто багато роботи" (я був / є на мобільному). Введення всіх цих $ і \ - хитра робота. Я обрав натомість освіту. (Це рішення може бути не зовсім раціональним.)

— Оліфаунт - поверніть Моніку

Відповіді:

Тоді виходить, що $SAT \in P$ який сам випливає, що $SAT \in TIME(n^k)$ .

Звичайно.

Як відомо, ми можемо зменшити кожну мову $NP$ до $SAT$ . Тому $NP \subseteq TIME(n^k)$ .

Ні. Скорочення поліноміального часу не безкоштовне. Можна сказати, що потрібен час $O(n^{r(L)})$ для скорочення мови $L$ до $SAT$ , де $r(L)$ - показник у використаному скороченні поліноміального часу. Ось де ваш аргумент розпадається. Не існує кінцевого $k$ такого, що для всіх $L \in NP$ маємо $r(L) < k$ . Принаймні, це не випливає з $P = NP$ і це було б набагато сильнішим твердженням.

І це більш сильне твердження дійсно суперечить теоремі часової ієрархії, яка нам це говорить $P$ не може зруйнуватися в $TIME(n^k)$ ,кажучи вжевсіх $NP$ .

— orlp
джерело

Це не лише час для самого скорочення. Ви можете звести до більшої проблеми. Якщо я можу вирішити X в O (n ^ 5), і я можу зменшити задачу в Y в O (n ^ 6) до екземпляра розміру O (n ^ 3) розміру X, тоді мені потрібно O (n ^ 15) загалом.

— gnasher729

Це дивно, але цей аргумент стосується і повних проблем PTIME, наприклад, HORNSAT, який вирішується в лінійний час (але не всі проблеми в Р є лінійним часом).

— Коди

Припустимо, що $\mathrm{3SAT}\in\mathrm{NTIME}[n^k]$ . За недетермінованою версією теореми часової ієрархії для будь-якого $r$ існує задача $X_r\in\mathrm{NTIME}[n^r]$ , якої немає в $\mathrm{NTIME}[n^{r-1}]$ . Це безумовний результат, який не залежить від будь-якого виду припущення, такого як $\mathrm{P}\neq\mathrm{NP}$

Виберіть будь-який $r>k$ . Припустимо, у нас є детерміноване скорочення від $X_r$ до $\mathrm{3SAT}$ яке працює в часі $n^t$ . Це створює екземпляр розміром $\mathrm{3SAT}$ не більше $n^t$ , який можна вирішити в часі максимум $(n^t)^k=n^{tk}$ . За вибором $X_r$ ми повинні мати $tk>r-1$ , тому $t>(r+1)/k$ . Ця функція зростає без зв’язку з $r$ .

Чи не Це означає , що там не пов'язані про те , як довго він може зробити , щоб зменшити довільне $\mathrm{NP}$ завдання $\mathrm{3SAT}$ . Навіть якщо $\mathrm{3SAT}\in \mathrm{P}$ , все одно немає обмежень щодо того, скільки часу можуть тривати ці скорочення. Так, зокрема, навіть якщо $\mathrm{3SAT}\in\mathrm{DTIME}[n^{k'}]$ для деякого $k'$ , ми не можемо зробити висновок, що $\mathrm{NP}\subseteq\mathrm{DTIME}[n^{k'}]$ , або навіть $\mathrm{NP}\subseteq\mathrm{DTIME}[n^{k''}]$ для деяких $k''>k'$ .

— Девід Річербі
джерело