Планування роботи з проблемою вузького місця

З огляду на завдань , для кожного завдання потрібно час.$n$T i > 0 , T i ∈ $J_1,J_2,...,J_n$$T_i > 0, T_i \in N$

Кожне завдання повинно бути попередньо оброблене та опрацьоване на одній машині M, яка може обробляти лише 1 завдання за один раз, а обидві фази потребують 1 одиниці часу. Після попередньої обробки завдання відправляється на машину з необмеженою потужністю (яка може паралельно обробляти необмежену кількість завдань), і вона буде готова вчасно , тоді вона повинна бути відправлена ​​( негайно ) в машину M знову для подальша обробка.T $J_i$$T_i$

Пов'язана проблема рішення:

Вхідний дані : Час обробки з робочих місць, ціле число Питання: можемо чи ми обробити всі робочі місця під час , використовуючи вищезгадану модель «вузького місця»? N K ≥ 2 $T_i >0, T_i \in \mathbb{N}$$N$$K\geq 2N$
$\leq K$

Ця проблема має ім’я?
У чому її складність? (це в чи це -повне?) Н $\sf{P}$$\sf{NP}$

ОНОВЛЕННЯ 29 березня:
Як правильно зауважив М. Кафаро у своїй відповіді, проблема схожа на задачу щодо необмеженого мінімального часу закінчення (UMFT) (див. Розділ 17 Посібника з алгоритмів планування ), яка є -hard (доведено У. Керн та У. Навійн, "Планування багатоопераційних завдань із затримками часу на одній машині", Університет Твенте, 1993). Як я бачу, є деякі відмінності, оскільки в моїй моделі:$\sf{NP}$

• час обробки до / після обробки є постійним (1 одиниця часу)
• як тільки завдання буде виконано, його потрібно негайно опрацювати (модель UMFT дозволяє затримати)

Я не знайшов доказ Kern & Nawijn в Інтернеті, тому я досі не знаю, чи змінять вищезазначені обмеження складність проблеми.

Нарешті, ви можете продумати весь процес, як один робочий кухар з великою духовкою; робот може готувати різні види продуктів один за одним (всі вимагають однакового часу приготування), покласти їх у духовку, і як тільки вони приготуються, він повинен вийняти їх з духовки і додати трохи холодних інгредієнтів ... « зварити проблеми робот » :-)

Питання є доволі складним у „Зменшення пробілу в магазині двох машин із затримками та операціями одиничного часу є NP-Hard” У. Ю., Х. Худжевен та Дж. Ленстра (2004). Це доведено у розділі 9 статті:

Теорема 24. Проблема мінімізації пробілу на одній машині з двома операціями часу на одиницю роботи з довільними проміжними затримками є надзвичайно важкою.

Точна модель, що вивчається тут, полягає в тому, що робота складається з двох операцій, які займають одиничний час, розділений деяким часом затримки . Проблема сильно заповнена NP як тоді, коли для кожного завдання задано точне значення затримки , так і коли для кожного завдання задається мінімальний час затримки.T i T $i$$T_i$$T_i$

Це схоже на так звану модель планування майстер-рабів, представлену Сані . Зокрема, ваша проблема підпадає під Системи одноосібного головного управління. Можна виділити кілька випадків:

1) Якщо ви не додаєте жодних додаткових обмежень щодо порядку виконання завдання (як у вашому випадку), проблема називається необмеженою проблемою мінімального часу закінчення (UMFT) і виявилася важкою для NP;

2) однакові замовлення до і після обробки: можна розробити алгоритм для побудови замовлення, зберігаючи графік мінімального часу завершення (OPMFT);$O(n \log n)$

Отже, у випадку 1 ваша проблема є твердою, тоді як вона є в у випадку 2.$NP$$P$

Додаткові пов'язані проблеми:

3) Пост-обробка замовлень із зворотним замовленням: Для будь-якої заданої перестановки попередньої обробки, , можна побудувати графік зворотного порядку, який називається канонічним графіком зворотного замовлення (CROS). Враховуючи попередню обробку перестановки , відповідна CROS є унікальною. Неважко встановити, що кожен мінімальний графік зворотного порядку закінчення (ROMFT) - це CROS.$σ$$σ$

4) обмеження в режимі очікування:

a) [MFTNW] Мінімізуйте час закінчення з урахуванням обмеження очікування в процесі очікування; b) [OP-MFTNW] Це версія для зберігання замовлень MFTNW. Тобто, мінімізуйте час фінішу з урахуванням обмежень, що не очікують, і збереження порядку; в) [RO-MFTNW] Мінімізуйте час фінішу з урахуванням обмежень не очікування в процесі та зворотного порядку.

Задачі і є важкими для NP, тоді як допускає рішення полінома часу.b $a$$b$$c$

Додаткові відомості у Підручнику з планування , глава 17.