Сортувати масив з 5 цілих чисел з максимумом 7 порівнянь

Як можна сортувати список з 5 цілих чисел таким чином, що в гіршому випадку він займає 7 порівнянь? Мені все одно, скільки інших операцій виконуються. Я не знаю нічого конкретного про цілі числа.

Я спробував декілька різних підходів до ділення та підкорення, які дозволяють мені знизитись до 8 порівнянь, таких як дотримання підходу до об'єднання або комбінування об'єднання з використанням двійкового пошуку, щоб знайти позицію вставки, але кожен раз, коли я підпадаю на 8 порівнянь, найгірший випадок .

Зараз я просто шукаю підказку, а не рішення.

algorithms sorting

— Роберт С. Барнс
джерело

Ви спробували написати дерево "порівняння"? У ньому

листків, кожен відповідає перестановці цілих чисел. Якщо ви не знаєте, що я маю на увазі під «порівнянням» до дерева, чи знаєте ви докази того, що вам потрібно

порівнянь? Ps, що змушує тебе думати, що це можливо?

5! = 120

$5! = 120$

n \log n

$n \log n$

— Pål GD

Ну, 8-розрядний додаток - if(x > y)це те саме, if((x - y) & 0x80)що навряд чи можна порівняти. Я думаю, ми повинні забути, що об’єкти цілі числа, і припустимо, що ми повинні використовувати якусь магічну compare(x, y)функцію для порівняння цих об'єктів ...

— Karolis Juodelė

Чи вважається «підказкою чи рішенням розділ 5.3 щодо оптимального сортування в Томі 3« Програми комп’ютерного програмування » , який охоплює саме це питання? :-)

— Стівен Стадницький

Межа насправді

, і

. Так що це можливо (в принципі).

2^{c} \geq n!

$2^c \ge n!$

5! = 120 < 2^{7} = 128

$5! = 120 < 2^7 = 128$

— vonbrand

пов’язано: Сортування масиву з мінімальною кількістю порівнянь

— Янус Троельсен

Відповіді:

Є лише один спосіб розпочати цей процес (і майже для всіх ваших рішень того, з чим порівнювати на наступних етапах, існує лише один правильний). Ось як це розібратися. По-перше, зауважте, що для ваших порівнянь можна отримати можливих відповідей, і різних перестановок, які вам потрібно розрізняти. $2^7 =128$ $5! = 120$

Перше порівняння просте: ви повинні порівняти два клавіші, і оскільки ви нічого не знаєте про них, всі варіанти однаково хороші. Тож скажімо, ви порівнюєте і і знаходимо, що . Тепер у вас залишилось можливих відповіді, і залишилося можливих перестановок (оскільки ми усунули половину з них). $a$ $b$ $a \leq b$ $2^6 = 64$ $60$

Далі ми можемо порівняти і , або порівняти з одним із ключів, які ми використовували в першому порівнянні. Якщо ми порівняємо і і дізнаємося, що , то у нас є відповіді, що залишилися, і можливих перестановок. З іншого боку, якщо ми порівняємо з $c$ $d$ $c$ $c$ $d$ $c \leq d$ $32$ $30$ $c$ , і ми виявилищо , ми маємо можливих перестановок залишилися, тому що ми виключили з можливих перестановок (ті, $a$ $a \leq c$ $40$ $1/3$ ). У нас є лише можливі відповіді, тому нам не пощастило. $c \leq a \leq b$ $32$

Отже, тепер ми знаємо, що нам потрібно порівняти перший і другий ключі, третій і четвертий ключі. Можна припустити , що ми маємо і . Якщо ми порівняємо з будь-якого з цих чотирьох ключів, з тих самих міркувань ми використовували в попередньому кроці, ми могли б усунути тільки з перестановок інших, і ми не пощастило. Отже, ми повинні порівняти два ключі $a\leq b$ $c \leq d$ $e$ $1/3$ . Беручи до уваги симетрію, ми маємо два варіанти, порівняємо і або порівняємо і $a,b,c,d$ $a$ $c$ $a$ $d$ . Аналогічний аргумент підрахунку показує, що ми повинні порівняти і . Можна вважати , не обмежуючи спільності , що , і тепер ми маємо і . $a$ $c$ $a \leq c$ $a \leq b$ $a \leq c \leq d$

Оскільки ви попросили підказку, я не буду перебирати решту аргументів. У вас залишилось чотири порівняння. Використовуйте їх розумно.

— Петро Шор
джерело

Як ви , що порівняння до

a

$a$

зводить вас лише до 40 перестановок?

c

$c$

— Роберт С. Барнс

@Robert: Припустимо , що у вас є

. Тоді є дві перестановки

відповідають цим обмеженням,

. Для кожної з цих двох перестановок є чотири місця, до яких можна додати

і п’ять місць, які ви можете додати

a \leq b

$a \leq b$

a \leq c

$a \leq c$

a, b, c

$a,b,c$

a < b < c

$a < b < c$

a < c < b

$a < c < b$

d

$d$

e

$e$

— Пітер Шор

Ви можете знайти це в «Мистецтві комп’ютерного програмування» т. III, Д.Кнут, але стратегія така (я припускаю, у вас є масив ): Якщо ви хочете прочитати підказку лише перші два рядки моєї відповіді $\{a,b,c,d,e\}$

Перші групові пари чисел: . $(a,b), (c,d)$
Порівняйте пари, щоб сортувати їх, наприклад: . $a<b, c<d$
Порівнявши найменші елементи пар, отримаємо результат, наприклад, . $a<c$
Порівняйте останній елемент із більшим елементом в останньому порівнянні ( c )
- Якщо , легко в кінцевому підсумку з порівнянням, що залишилися 3. Готово. $e<c$
- Якщо то слід сортувати { b , c , d , e } зі знанням c < e .
  - , якщо тоді
    - , якщо
      - . Готово. $Compare(b,e)$
    - якщо
      - . Готово. $Compare(b,c)$
  - якщо
    - якщо
      - . Готово. $Compare(b,d)$
    - якщо
      - $Compare(b,c)$ . Готово.

Всі вищезазначені способи є причиною, щонайменше, трьох порівнянь після першого порівняння з $e$ . (максимум означає 7). $c$

— Джордж
джерело

Ви впевнені, що це правильно? Припустимо, ви отримаєте такі результати: a <b, c <d, a <c, а потім c <e, b <e, c <b і d <e. Порядки a <c <b <d <e та a <c <d <b <e обидва відповідають їм. Причина полягає в тому, що b і d ніколи не порівнюються, неявно або явно. Можливо, я десь помиляюся, якщо так, будь ласка, виправте мене.

— Джордж