З огляду на хордальний графік , яка складність обчислення скороченого графіка ?

Графік є хордальним, якщо він не має індукованих циклів довжиною або більше. Кліка дерево з є деревом , в якому вершина дерева є максимальними кліками . Край у відповідає мінімальному роздільника. Кількість чітких дерев клики може бути експоненціальною в кількості вершин на хордальному графіку.$G$$4$$T$$G$$G$$T$

Зменшено кліка граф , є об'єднанням всіх кліки дерев . Тобто у нього є однакові вершини, і всі можливі ребра. Яка складність обчислення для даного ?$C_r(G)$$G$$C_r(G)$$G$

Я думаю, що одного разу бачив презентацію, яка стверджує, що можна обчислити за час без доказів. Це означало б , що це так легко , як обчислення кліки дерева . Чи є посилання, яке підтверджує це, або дає повільніший алгоритм його обчислення?$C_r(G)$$O(m+n)$$G$

Складність становить O (нм) ... від G обчислюємо максимальні кліки та робимо їх вершинами у графіку H (спочатку без ребер) ... потім обчислюємо всі мінімальні роздільники і впорядковуємо їх за розміром ... вибираємо найбільший роздільник S і зробіть будь-які дві кліки C, C 'поруч із H (з'єднайте їх краєм з міткою S), якщо C, C' обидва містять S і знаходяться в різних з'єднаних компонентах H (спочатку це, звичайно, завжди вірно, але може не пізніше) ... потім виберіть наступний найбільший роздільник і зробіть те саме ... повторіть, поки всі роздільники не будуть оброблені ... отриманий графік H - графік зменшеної кліки G ... обчислення максимальних кліків і мінімальних роздільників займає O (n + m) ... є O (n) кліки та O (n) роздільники ... решта конструкції - O (nm), оскільки обробка кожного сепаратора може зайняти час O (m) ... .. .це не може бути покращено нижче O (n ^ 2), якщо ви не зможете вирішити таку проблему: задавши графік G, знайдіть дві вершини u, v такі, що N (u) містить N (v) ... останній, як відомо, не має Рішення O (n + m) ... ... тому малоймовірно, що алгоритм O (n + m) для обчислення графіків зменшених кліків ...

див. Розділ 5 у М. Хабіба, Дж. Стачо: Алгоритм поліноміального часу для витікання хордальних графіків, В: Алгоритми - ESA 2009, Примітки до лекції з інформатики 5757/2009, с. 290-300. ( http://www.cs.toronto.edu/~stacho/public/leafage-esa1.pdf )