Колір бінарного дерева буде червоно-чорним деревом

Поширене питання інтерв'ю полягає в тому, щоб дати алгоритм визначення того, чи задане бінарне дерево збалансоване по висоті (визначення дерева AVL).

Мені було цікаво, чи можемо ми зробити щось подібне з червоно-чорними деревами.

Враховуючи довільне незабарвлене бінарне дерево (з вузлами NULL), чи існує "швидкий" алгоритм, який може визначити, чи можемо ми пофарбувати (і знайти забарвлення) вузли Червоний / Чорний, щоб вони задовольнили всі властивості червоно-чорного дерева (визначення як у цьому питанні )?

Початкова думка полягала в тому, що ми можемо просто видалити NULL-вузли і спробувати рекурсивно перевірити, чи може дерево, що утворюється, червоно-чорне дерево, але, схоже, нікуди не дінеться.

Я здійснив (короткий) пошук в Інтернеті документів, але, здається, не знайшов жодної, що, схоже, вирішує цю проблему.

Цілком можливо, що я пропускаю щось просте.

Якщо для кожного вузла дерева найдовший шлях від нього до листяного вузла не більше ніж удвічі довший, ніж найкоротший, дерево має червоно-чорне забарвлення.

Ось алгоритм для визначення кольору будь-якого вузла n

if n is root,
    n.color = black
    n.black-quota = height n / 2, rounded up.

else if n.parent is red,
    n.color = black
    n.black-quota = n.parent.black-quota.

else (n.parent is black)
    if n.min-height < n.parent.black-quota, then
        error "shortest path was too short"
    else if n.min-height = n.parent.black-quota then
        n.color = black
    else (n.min-height > n.parent.black-quota)
        n.color = red
    either way,
        n.black-quota = n.parent.black-quota - 1

Ось n.black-quotaкількість чорних вузлів, які ви очікуєте побачити, переходячи до листочка, від вузла, nі n.min-heightце відстань до найближчого аркуша.

Для стислості позначення нехай , h ( n ) = і m ( n ) = .$b(n) =$ n.black-quota$h(n) =$ n.height$m(n) =$ n.min-height

Теорема: Фікс бінарного дерева . Якщо для кожного вузла n ∈ T , h ( n ) ≤ 2 м ( n ) і для вузла r = корінь ( T ) , b ( r ) ∈ [ $T$$n \in T$$h(n) \leq 2m(n)$$r = \text{root}(T)$тодіTмає червоно-чорне забарвлення з точноб(r)чорними вузлами на кожному шляху від кореня до листя.$b(r) \in [\frac{1}{2}h(r), m(r)]$$T$$b(r)$

Доведення: індукція над .$b(n)$

Перевірте, що всі чотири дерева висотою одне чи два задовольняють теоремі з .$b(n) = 1$

За визначенням червоно-чорного дерева, корінь чорний. Нехай - вузол із чорним батьківським p таким, що b ( p ) ∈ [ $n$$p$. Тодіb(n)=b(p)-1,h(n)=h(p)-1іh(n)≥m(n)≥m(p)-1.$b(p) \in [\frac{1}{2}h(p), m(p)]$$b(n) = b(p) -1$$h(n) = h(p)-1$$h(n) \geq m(n) \geq m(p)-1$

Припустимо, теорема справедлива для всіх дерев з коренем , b ( r ) < b ( q ) .$r$$b(r) < b(q)$

Якщо , то n може бути червоно-чорним кольором за індуктивним припущенням.$b(n) = m(n)$$n$

Якщо тоb(n)=⌈$b(p) = \frac{1}{2}h(p)$. nне задовольняє індуктивне припущення і тому повинно бути червоним. НехайĈбути дитиноюп. h(c)=h(p)-2і b(c)=b(p)-1=$b(n) = \lceil \frac{1}{2}h(n) \rceil - 1$$n$$c$$n$$h(c) = h(p)-2$. Тодіcможе бути червоно-чорним кольором за індуктивним припущенням.$b(c) = b(p)-1 = \frac{1}{2}h(p)-1 = \frac{1}{2}h(c)$$c$

Зауважимо, що тим самим міркуванням, якщо , тоді іn,і дитинаnвідповідають задоволенню індуктивного припущення. Томуnможе мати будь-який колір.$b(n) \in (\frac{1}{2}h(r), m(r))$$n$$n$$n$

Я вважаю, що відповідь Кароліс правильна (і досить приємна характеристика червоно-чорних дерев, даючи час алгоритм), просто хотіла додати ще одну можливу відповідь.$O(n)$

Один із підходів полягає у використанні динамічного програмування.

З огляду на дерево, для кожного вузла ви побудуєте два набори: S R ( n ) і S B ( n ), який містить можливі чорні висоти для нижнього дерева, вкоріненого в n . S R ( n ) містить чорні висоти, якщо n пофарбовано у червоний колір, а S B ( n ), якщо n пофарбовано у чорний колір.$n$$S_R(n)$$S_B(n)$$n$$S_R(n)$$n$$S_B(n)$$n$

Тепер задано множини для і н . R i g h t (тобто прямі діти n ), ми можемо обчислити відповідні множини для n , провівши відповідні перетини та об'єднання (і збільшуючи за необхідності).$n.Left$$n.Right$$n$$n$

Я вважаю, що це алгоритм часу .$O(n \log n)$