Чому найкраще використовувати просте число як мод у функції хешування?

Якщо у мене є список ключових значень від 1 до 100 і я хочу організувати їх у масиві з 11 відер, мене вчили формувати модову функцію

Тепер усі значення будуть розміщені одне за одним у 9 рядках. Наприклад, у першому відрі буде $0, 11, 22 \dots$ . У другій буде $1, 12, 23 \dots$ тощо.

Скажімо, я вирішив бути поганим хлопчиком і в якості функції хешування застосував непрості - візьміть 12. Використання функції хешингу

в результаті вийде хеш-таблиця зі значеннями $0, 12, 24 \dots$ у першому відрі, $1, 13, 25 \dots$ тощо у другому тощо.

По суті вони одне і те ж. Я не зменшував зіткнень і не поширював нічого краще, використовуючи хеш-код простого числа, і я не бачу, як це корисно.

Розглянемо набір ключів $K=\{0,1,...,100\}$ та хеш-таблицю, де кількість відра $m=12$ . Оскільки $3$ є коефіцієнтом $12$ , клавіші, кратні $3$ будуть розміщені у відра, кратні $3$ :

• Ключі $\{0,12,24,36,...\}$ будуть відмічені до відра $0$ .
• Ключі будуть розміщені у відро .$\{3,15,27,39,...\}$$3$
• Ключі будуть розміщені у відро .$\{6,18,30,42,...\}$$6$
• Ключі будуть розміщені у відро .$\{9,21,33,45,...\}$$9$

Якщо розподілено рівномірно (тобто, кожен ключ у однаковою мірою трапляється), то вибір не є настільки критичним. Але що станеться, якщо не рівномірно розподілений? Уявіть, що ключі, які, найімовірніше, трапляються - кратні . У цьому випадку всі відра, не кратні будуть порожніми з великою ймовірністю (що дійсно погано з точки зору продуктивності хеш-таблиці).$K$$K$$m$$K$$3$$3$

Ця ситуація більш поширена, як може здатися. Уявіть, наприклад, що ви відстежуєте об’єкти залежно від місця їх зберігання в пам'яті. Якщо розмір слова вашого комп’ютера становить чотири байти, то у вас будуть хеширующие ключі, кратні . Зайве говорити, що вибір для кратності був би жахливим вибором: у вас відра повністю порожні, а всі ваші ключі стикаються в решті відра.$4$$m$$4$$3m/4$$m/4$

Загалом:

Кожна клавіша яка поділяє загальний коефіцієнт із кількістю відра буде хеширована до відра, кратного цього коефіцієнта.$K$$m$

Тому, щоб звести до мінімуму зіткнень, важливо , щоб зменшити кількість загальних факторів між і елементами . Як цього можна досягти? Вибравши число, яке має дуже мало факторів: просте число .$m$$K$$m$

Чи менше зіткнення з використанням праймерів менше, залежить від розподілу ваших ключів.

Якщо багато ваших ключів мають вигляд а ваша хеш-функція , ці ключі переходять до невеликої підмножини відра, якщо iff ділить . Тож вам слід мінімізувати кількість таких , чого можна досягти, вибравши простим.$a+k\cdot b$$H(n)=n \bmod m$$b$$n$$b$

Якщо ви хочете мати від до відер, і ви знаєте, що різниці, кратні , швидше, ніж різниці, кратні і , ви можете обрати для своєї спеціальної програми.$11$$12$$11$$2$$3$$12$

Чи має це вплив (також), залежить від того, як ви ставитесь до зіткнень. При використанні деяких варіантів відкритого хешування , використання прайменів гарантує, що порожні слоти будуть знайдені до тих пір, поки таблиця буде достатньо порожньою.

Спробуйте показати, наприклад, таке:

Припустимо, ми хочемо вставити елемент, який має хеш для вирішення та вирішення зіткнень, намагаючись згодом позицій для .$a$$a + i^2$$i=1,2,\dots$

Покажіть, що ця процедура завжди дає порожню позицію, якщо хеш-таблиця розміром , a простим розміром більше , і принаймні половина всіх позицій вільна.$p$$p$$3$

Підказка: Використовуйте той факт, що кільцевий модуль залишків класу є полем, якщо є простим, і тому має щонайбільше рішення.$p$$p$$i^2=c$$2$

Якщо хеш - функція має вигляд , де є простим і вибирається випадковим чином , то ймовірність того, що 2 різних ключів хеш з тим же відро . Тож для , що дуже мало.$h(k)=a\times k \mod m$$m$$a$$1\over m$$m=1009$$Pr\{h(x)=h(y), x\neq y\}=0.00099108027$

Ця схема відома як: Універсальний хешинг.