Справедливе вирізання торта, коли гравці запізнюються

Звичайне твердження проблеми справедливого вирізання торта передбачає, що всі гравці отримують свою частку одночасно. Однак у багатьох випадках гравці приїжджають поступово. Наприклад, ми можемо розділити торт на гравців, але тоді приходить новий гравець і хоче поділитися.$n$$n$

Зазвичай справедливий розподіл торта вимагає великих зусиль (наприклад, вимагає від гравців відповідати на багато запитів), особливо коли кількість гравців велика.

Чи можливо використовувати існуючий поділ торта на ять гравців, щоб створити новий поділ торта на гравців, з мінімальними додатковими зусиллями (тобто значно меншими зусиллями, ніж повторне розповсюдження торта з нуля)?n + $n$$n+1$

Я скажу наперед, що я не можу дати належну відповідь на ваше запитання (я думаю, ви можете, можливо, вийти з нього науково-дослідний документ, якщо зможете), але, думаю, я можу допомогти, визначивши проблему формально і вказавши, де деякі лежать труднощі.

Фон . Дозвольте чітко зазначити модель для нарізки торта. Ми хочемо розділити інтервал між гравцями. Кожен гравець має функцію оцінки над підмножинами торта. Будемо вважати, що ця функція є мірою ймовірності; він невід’ємний і адитивний (для неперервних , ) і . Рішення цієї проблеми - це протокол або алгоритм, який запитує гравців і призначає частини інтервалу. Зауважте, що гравці можуть неправильно повідомляти / брехати у відповіді на запити.$[0,1]$i v i ( S ) S A , B ⊆ [ 0 , 1 ] v i ( A ∪ B ) = v i ( A ) + v i ( B ) v i ( [ 0 , 1 ] ) = $n$$i$$v_i(S)$$S$$A,B \subseteq [0,1]$$v_i(A \cup B) = v_i(A) + v_i(B)$$v_i([0,1]) = 1$

Деякі документи матимуть більш конкретні обмеження; наприклад , функції оцінки є безперервними, або кусково-лінійними, або кусково-постійними.

Нехай шматки, призначені гравцям, будуть . Ми часто хочемо мати такі властивості протоколу:$\{S_1,\dots,S_n\}$

• пропорційність : Кожен гравець має стратегію, яка гарантує s / він отримує значення принаймні ( 1 / n ) v i ( [ 0 , 1 ] ) . (З моєї точки зору, він отримує 1 / n від загальної вартості торта.)$i$$(1/n)v_i([0,1])$$i$$1/n$
• заздрість : кожен гравець має стратегію, яка гарантує, що для кожного іншого гравця j . (Кожен гравець вважає за краще свій власний твір перед будь-яким іншим гравцем.)$v_i(S_i) \geq v_i(S_j)$$j$

Зауважимо, що заздрість передбачає пропорційність.

Також ми можемо захотіти "експлуатаційні" властивості, такі як розрізання на кілька шматочків, час роботи полінома (або взагалі обчислюваність / конструктивність - ми не хочемо використовувати Axiom of Choice для вибору підмножини торта! ), і так далі.

Конкретні запитання . Дві ноти. По-перше, будь-яка відповідь на ваше запитання вирішить загальну проблему: Почніть з надання цілого торта гравцеві , а потім дозвольте іншим гравцям прийти в Інтернет і ітеративно застосувати цей протокол. Тому ми повинні очікувати, що ця проблема буде складнішою, ніж стандартна установка для нарізки торта, до якої ми її застосовуємо.$1$

По-друге, ми завжди можемо вирішити вашу проблему, відбираючи весь торт від усіх і використовуючи відомий алгоритм, щоб перерозподілити його з нуля. Тож питання полягає лише в тому, чи існує дещо більш елегантний спосіб зробити це. Я думаю, що хороший спосіб кількісної оцінки цього полягає в тому, "коли перерозподіл вимагає менше часу або менше скорочень, ніж починаючи з нуля; та / або коли гравці отримують, щоб зберегти значну частину свого поточного фрагмента?"

1. Припустимо, у нас виділено заздрість для гравців. Як ми перерозподіляємось, щоб виробляти без заздрощів розподіл серед n + 1 гравців?$n$$n+1$

Я підозрюю, що це дуже складно. Причина в тому, що знайти ефективний розподіл без заздрощів - це вже складна проблема. Наскільки мені відомо, відомі протоколи можуть вимагати необмеженої кількості надрізів торта і є дуже складними. (Див. Брамса та Тейлора, Протокол відділу тортів без вірогідності , 1995 р.). Тому не може бути нічого кращого, ніж забрати весь пиріг у всіх і перерозподілити його агентам за допомогою Брамса-Тейлора.$n+1$

1. Припустимо, у нас пропорційний розподіл для ; як ми перерозподіляємо для отримання пропорційного розподілу для n + 1 ?$n$$n+1$

Я думаю, що це все-таки важко (хоча і більш можливо). Розглянемо випадок, коли кожен гравець оцінює торт рівномірно і кожен гравець має розмір шматочка. Тоді все, що робить новий гравець, вимагатиме перестановки серед усіх. Ось ще один поганий випадок: припустимо, гравець 1 має оцінку рівно 1 / n для її скибочки, але значить відрізок гравця 2 за ( n - 1 ) / n . Припустимо, гравець 2 оцінює її власний зріз рівно на 1 / n , але значить фрагмент гравця 3 на ( $1/n$$1$$1/n$$2$$(n-1)/n$$2$$1/n$$3$ і так далі, при цьому гравець n оцінює власний фрагмент в 1 / n, азрізгравця 1 - ( n - 1 ) / n . Тепер приходить новий гравець. Незалежно від того, що хоче новий гравець, у вашому протоколі буде потрібно щось перестановити з гравця 2 на гравця 1 , з гравця 3 на гравця 2 тощо.$(n-1)/n$$n$$1/n$$1$$(n-1)/n$$2$$1$$3$$2$

Однією з посилань може бути Валш, онлайн-різання тортів , в теорії алгоритмічних рішень 2011 (посилання у форматі PDF). Але я вважаю, що папір передбачає, що ми заздалегідь знаємо кількість агентів, що прибувають, і припускає, що гравцям потрібно виділити шматок саме тоді, коли вони виїжджають (що до кінця протоколу), тому це дійсно не стосується вашої проблеми.

Один із способів перерозподілу пропорційного розподілу, який підтримує пропорційність, полягає в наступному. Нехай кожен із присутніх гравців розрізає свій виділений шматок пирога на n + 1 шматок, який він однаково цінує. Гравець n + 1 тепер вибере найкращий твір, згідно з ним, з кожного скорочення п. Гравця. Неважко показати, що отриманий розподіл також пропорційний.$n$$n+1$$n+1$$n$

Припустимо, торт / площа - це коло із радіусом r . Тоді ми можемо створити п ясних штук канонічним розрізанням торта і таким чином призначити кожному гравцеві площу π r $C$$r$$n$ . Потім ми можемо призначити(n+1)маленьке коло навколо центру, а наступні нові гравці обдзвонюють навколо цього (проковтнувши частину внутрішнього кола) тощо. Таким чином, кожен гравець отримує один суміжний твір / сюжет, який монотонно скорочується для першихn+1гравців, і рухається до центру для тих, хто приєднується пізніше.$\frac{\pi r^2}{n}$$(n+1)$$n+1$

Опрацювання чисел просте; для першого нового гравця просто вирішіть

$\qquad \pi r_1^2 = \frac{\pi r^2}{n+1}$

щоб отримати радіус для його ділянки. По-друге, розв’яжіть

$\qquad\begin{align} \pi r_1^2 &= \frac{\pi r^2}{n+2} \\ \pi r_2^2 - \pi r_1^2 &= \frac{\pi r^2}{n+2} \end{align}$

$n + i$$r_i = \frac{r\sqrt{i}}{\sqrt{n+k}}$$k$

$n=6$$k=0,1,2,3$

^{[ джерело ]}

$n$$n$