Контекстно-вільні мови в

20

Безконтекстні мови не закриваються доповненням, ми це знаємо.

Наскільки я розумію, безконтекстні мови, які є підмножиною для деяких букв , закриваються під доповненням (!?) $a^*b^*$ $a,b$

Ось мій аргумент. Кожна мова CF має напів-лінійний Parikh зображення . Напівлінійні набори закриті доповненням. Сукупність векторів, які представляють напівлінійний набір, легко перетворити на лінійну граматику. $L$ $\pi(L) = \{ (m,n) \mid a^mb^n \in L \}$

Питання. Чи є легко доступна посилання на цей факт?

Технічно ці мови називаються обмеженими , тобто підмножиною $w_1^* \dots w_k^*$ для деяких слів $w_1,\dots,w_k$ .

Моя мотивація до цього питання - це нещодавнє запитання про безпроблемність контексту $\{ a^nb^m \mid n^2 \neq m \}$ . Його доповнення в $a^*b^*$ здається , простіше в зверненні.

— Гендрік Ян
джерело

Ви перевірили "Математичну теорію безконтекстних мов" Гінзбурга? Мабуть, теорема 5.4.2 дає характеристику обмежених без контексту мов, на які ви посилаєтесь, і, думаю, Гінзбург зазначив би значення для доповнення обмежених без контексту мов (у двовимірному випадку).

— Yuval Filmus

12

Така характеристика обмежених без контексту мов пояснюється Гінзбургом ("Математична теорія безконтекстних мов") і постає як слідство 5.3.1 у своїй книзі. Для загального існують деякі обмеження на напівлінійних множин, але ці обмеження завжди задоволені, і тому просто зробити висновок , що доповнення такого мови (в ) є контекстно-вільної . $k$ $k \leq 2$ $w_1^* w_2^*$

Гінзбург згадує про ці наслідки у своїй книзі.

Висновок 5.6.1 Якщо і є [безконтекстними] мовами, і слова, то є [контекстною] мовою. $M_1 \subseteq w_1^*w_2^*$ $M_2$ $w_1$ $w_2$ $M_1\cap M_2$

Висновок 5.6.2 Якщо і є [безконтекстними] мовами, і слова, то і є [без контексту] мови. $M_1 \subseteq w_1^*w_2^*$ $M_2$ $w_1$ $w_2$ $M_1 - M_2$ $M_2-M_1$

— Юваль Фільм
джерело

2

Ще один доказ використовує наступну характеристику, доведену у цій відповіді :

Мова є безконтекстною iff визначається в арифметиці Пресбургера. $\{ a^i b^j : (i,j) \in A \}$ $A$

Зрозуміло, що визначається в арифметиці Пребургера iff визначається в арифметиці Пресбургера. $A$ $\overline{A}$

Це показує, що якщо мови без контексту, то будь-яке булеве вираження в мовах (що включає об'єднання, перетин та доповнення) також є без контексту. $L_i \subseteq a^*b^*$

— Юваль Фільм
джерело