Чи можна проявити твердість NP завдяки зменшенню Тюрінга?

У статті Складність проблеми Фробеніуса Раміреса-Альфонсіна було доведено, що проблема є NP-повною за допомогою скорочень Тьюрінга. Це можливо? Як саме? Я подумав, що це можливо лише за багаточленного часу на одне скорочення. Чи є посилання на це?

Чи існують два різних поняття твердості NP, навіть NP-повноти? Але потім я розгублений, бо з практичної точки зору, якщо я хочу показати, що моя проблема є NP-жорсткою, яку я використовую?

Вони почали опис наступним чином:

Поліномічне скорочення скорочення Тюрінга від задачі до іншої проблеми - це алгоритм A, який вирішує , використовуючи гіпотетичну підпрограму A 'для розв’язання таким чином, що якщо A' був алгоритмом багаточленного часу для то A був би поліноміальним часом алгоритм для . Ми говоримо, що може бути Тьюрінгом зменшено до .P 2 P 1 P 2 P 2 P $P_1$$P_2$$P_1$$P_2$$P_2$$P_1$Р $P_1$$P_2$

Проблема називається (Тюрінг) NP-складною, якщо існує проблема NP-повного рішення така що Turing можна зменшити до .P 2 P 2 P $P_1$$P_2$$P_2$$P_1$

І тоді вони використовують таке зменшення Тьюрінга від проблеми, повного NP, щоб показати NP-повноту якоїсь іншої проблеми.

Існують (принаймні) два різних поняття твердості NP. Звичайне поняття, яке використовує скорочення Короп, стверджує , що мова є NP-важкою , якщо кожна мова в НП Короп-зводиться до L . Якщо ми змінимо скорочення Карпа на скорочення Кука, ми отримаємо інше поняття. Кожна мова, яка є Karp-NP-жорсткою, також є твердою для Cook-NP, але, навпаки, хибна помилка. Припустимо , що NP відрізняється від CONP, і прийняти ваш улюблений NP-повний мову L . Тоді доповненням L є Cook-NP-жорстким, але не Karp-NP-жорстким.$L$$L$$L$$L$

Причина того, що є важким для Cook-NP, полягає в наступному: візьміть будь-яку мову M в NP. Так як L є NP-важкою, існує функція поліноміальних по F , такі , що х ∈ М тоді і тільки тоді F ( х ) ∈ L тоді і тільки тоді F ( х ) ∉ ¯ л . Скорочення Кука від M до ¯ L приймає x , обчислює f ( x ) , перевіряє, чи f ( x ) ∈ $\overline{L}$$M$$L$$f$$x \in M$$f(x) \in L$$f(x) \notin \overline{L}$$M$$\overline{L}$$x$$f(x)$ і виводить зворотне.$f(x) \in \overline{L}$

Причина того, що не є твердим NP (припускаючи, що NP відрізняється від coNP), є наступною. Припустимо, ¯ L були жорсткими NP. Тоді для кожної мови М в CONP, відбувається зменшення поліноміальних по е таке , що х ∈ ¯ М тоді і тільки тоді F ( х ) ∈ ¯ L , або, іншими словами, х ∈ М тоді і тільки тоді F ( х ) ∈ L . Оскільки L знаходиться в NP, це показує, що M знаходиться в NP, і тому coNP $\overline{L}$$\overline{L}$$M$$f$$x \in \overline{M}$$f(x) \in \overline{L}$$x \in M$$f(x) \in L$$L$$M$$\subseteq$НП. Це негайно означає, що NP coNP, і тому NP = coNP.$\subseteq$

Якщо деякі Кукі-NP-важкий мову в P, то P = NP: для будь-якої мови М в НП, використовуйте скорочення Кука L дати алгоритм полиномиального по для М . Тож у цьому сенсі мови, завершені Cook-NP, також є "найважчими в NP". З іншого боку, легко бачити , що Кук-NP-важкий = Кук-CONP твердолобі: скорочення Варити L може бути перетворено до скорочення Кука для ¯ L . Таким чином ми втрачаємо деяку точність, використовуючи скорочення Кука.$L$$M$$L$$M$$L$$\overline{L}$

Можливо, є й інші недоліки використання скорочень Кука, але це я залишу іншим користувачам.

Це чудово. Скорочення поліномального часу Тюрінга - це скорочення Кука (як у теоремі Кука-Левіна), а зменшення NP-повної задачі до нової проблеми надає твердість NP (як і зменшення полінома-тієма на багато-один, зменшення AKA Karp). Дійсно, скорочення Карпа так само є обмеженими скороченнями Тьюрінга.

Там, де вони відрізняються (щодо цього питання), - це показати членство. Скорочення Карпа від проблеми до проблеми в НП показує, що перша - в НП. Скорочення кухаря в тому ж напрямку не робить.