У теорії обчислюваності та складності (і, можливо, в інших сферах) скорочення є всюдисущими. Існує багато видів, але принцип залишається тим самим: покажіть, що одна проблема принаймні настільки ж складна, як і інша проблема , зіставляючи екземпляри з на еквівалентні рішенням у . По суті, ми показуємо, що будь-який вирішувач для також може вирішити якщо ми дозволимо йому використовувати функцію скорочення як препроцесор.L 2 L 2 L 1 L 1 L $L_1$$L_2$$L_2$$L_1$$L_1$$L_2$

Я впроваджував свою частку скорочень протягом багатьох років, і щось не зважає на мене. Хоча кожне нове скорочення вимагає (більш-менш) творчої побудови, завдання може відчувати себе повторюваним. Чи є пул канонічних методів?

Які методи, візерунки та підказки можна регулярно використовувати для побудови функцій скорочення?

^{Це має стати еталонним питанням . Тому, будь ласка, потурбуйтеся дати загальні, дидактично представлені відповіді, які проілюстровані хоча б одним прикладом, але, тим не менш, охоплюють багато ситуацій. Дякую!}

Особлива справа

Припустимо , ми хочемо показати щодо деякого поняття редукції R . Якщо L 1 являє собою окремий випадок з L 2 , що цілком тривіально: ми можемо істотно використовувати тотожну функцію. Інтуїція за цим зрозуміла: загальний випадок принаймні такий же важкий, як і особливий випадок.$L_1 \leq_R L_2$$R$$L_1$$L_2$

У "практиці" нам дають і стикаються з проблемою вибору хорошого партнера зі скорочення , тобто пошуку спеціального випадку , який виявився твердим.$L_2$L 2$L_1$$L_2$$R$

Простий приклад

Припустимо, ми хочемо показати, що KNAPSACK є важким для NP. На щастя, ми знаємо, що SUBSET-SUM є NP-повним, і це справді особливий випадок KNAPSACK. Скорочення

$\qquad f(A,k) = (A, (1,\dots,1), k, |A|)$

достатньо; - екземпляр KNAPSACK, який запитує, чи можемо ми досягти принаймні значення зі значеннями пункту в щоб відповідні ваги від залишалися під загалом. Нам не потрібні обмеження ваги для імітації SUBSET-SUM, тому ми просто встановлюємо їх на тавтологічні значення.v V W $(V,W,v,w)$$v$$V$$W$$w$

Проста проблема вправ

Розглянемо проблему MAX-3SAT: задавши формулу пропозиції та integer , виріши , чи є інтерпретація яка відповідає принаймні пунктам. Покажіть, що це NP-важко.k φ $\varphi$$k$$\varphi$$k$

3SAT - особливий випадок; з достатньо кількості пунктів у .m $f(\varphi) = (\varphi, m)$$m$$\varphi$

Приклад

Припустимо, ми досліджуємо проблему SUBSET-SUM і хочемо показати, що вона є важкою для NP.

Нам пощастило і знаємо, що проблема ЧАСТИНИ не є повною. Ми підтверджуємо, що це справді особливий випадок SUBSET-SUM і формули

$\qquad \displaystyle f(A) = \begin{cases} \left(A, \frac{1}{2}\sum_{a \in A} a\right) &, \sum_{a \in A} a\mod 2 = 0 \\ \left(A, 1 + \sum_{a \in A} |a|\right) &, \text{else} \end{cases}$

де - вхідний набір PARTITION, а - екземпляр для SUBSET-SUM, який запитує після підмножини підсумовуючи . Тут ми повинні подбати про те, щоб не було придатного ; в цьому випадку ми даємо довільну незбагненну інстанцію.( A , k ) A k $A$$(A,k)$$A$$k$$k$

Проблема вправ

Розглянемо задачу длинн-PATH: дан орієнтований граф , вузли з і цілого числа , вирішити , чи є простий шлях від до в довжини по крайней мере .s , t G k s t G $G$$s,t$$G$$k$$s$$t$$G$$k$

Покажіть, що LONGEST-PATH є NP-жорстким.

ГАМИЛТОН-ЦИКЛ - це відома проблема NP-повного і особливий випадок НАЙБІЛЬШІЙ ПАТИ; для довільного вузла в достатньо. Зокрема, зверніть увагу на те, як зниження рівня HAMILTON-PATH вимагає більше роботи.v $f(G) = (G,v,v,n)$$v$$G$

Використання відомої проблеми поблизу

Якщо ви зіткнулися з проблемою, яка відчуває важкість, часто корисно спробувати пошукати подібну проблему, яка вже виявилася важкою. Або, можливо, ви можете відразу побачити, що проблема дуже схожа на відому проблему.

Приклад проблеми

Розглянемо проблему

ми хочемо показати, що це -повне. Ми швидко зазначаємо, що це дуже близька до проблеми, про яку ми вже знаємо, є важкою, а саме проблемою задоволеності (SAT) .$\mathsf{NP}$

Приналежність до можна легко показати. Сертифікат - це два завдання. Зрозуміло, що в поліном час можна перевірити, чи задані задовольняють формулі.$\mathsf{NP}$

SAT φ v ( v ∨ ¬ v ) φ v = ⊥ v = ⊤ φ φ $\mathsf{NP}$ -твердість випливає із зменшення від . Давши формулу , ми модифікуємо її, вводячи нову змінну . До формули додаємо новий пункт . Тепер, якщо , він буде задоволений як і . Отже, має щонайменше 2 задовольняючих завдання. З іншого боку, якщо не задовольняється, він точно не стане задоволеним незалежно від значення .$\text{SAT}$$\varphi$$v$$(v \vee \neg v)$$\varphi$$v = \perp$$v = \top$$\varphi$$\varphi$$v$

Звідси випливає, що є -повне, що ми хотіли показати.Н $\text{DOUBLE-SAT}$$\mathsf{NP}$

Пошук проблем поблизу

Зменшення проблем - це вид мистецтва, і досвід та винахідливість часто потрібні. На щастя, багато важких проблем уже відомі . Комп'ютери та нездатність «Гарі та Джонсона»: Посібник з теорії повноти NP є класичним, у додатку з переліком багатьох проблем. Google Scholar також є другом.

В обчислюваності ми часто досліджуємо набори машин Тьюрінга. Тобто наші об'єкти - це функції, і ми маємо доступ до нумерації Gödel . Це чудово, тому що ми можемо робити майже все, що хочемо, за допомогою функції введення, якщо ми залишаємося обчислюваними.

Припустимо, ми хочемо показати, що не вирішується. Наша мета - досягти еквівалентності приреченості$L$

$\qquad \langle M \rangle \in K \iff \langle f_M \rangle \in L$

з проблема зупинки (або будь-яка інша нерозв'язна мова / проблема).$K = \{ \langle M \rangle \mid M(\langle M \rangle) \text{ halts} \}$

Таким чином, нам потрібно придумати обчислюване¹ відображення щоб завжди був обчислюваним. Це творчий акт, сповіщений еквівалентністю приреченості. Перегляньте кілька прикладів, щоб зрозуміти, як це працює:е $\langle M \rangle \mapsto \langle f_M \rangle$$f_M$

• Складання скорочень до доповнення$A_{\mathrm{TM}}$
• Чи можливо відображення звести одну з цих мов до іншої?

Те саме працює з тим, що показує, що не є напіврозв'язним, вибираючи мови, які не є напіврозбірними мовами, як партнера скорочення, наприклад :¯ $L$$\overline{K}$

• Чи регулярність мови, прийнята даною машиною Тюрінга, є напіврозбірливою властивістю?
• Рекурсивно перелічується набір обчислюваних постійних функцій?

1. Ось тут і відбувається нумерація Геделя: ми отримуємо обчислення цього відображення (як правило) безкоштовно.

Б $A$$B$$B$$A$

корисною стратегією є робота з великих компіляцій проблем відповідного класу складності та пошук "очевидних найближчих проблем" до проблеми, що вивчається. відмінне посилання на ці напрямки - " Комп'ютери та нездатність", посібник з теорії повноти НП, Гарі та Джонсон, організований різними типами проблем.