Пошук найкоротших і найдовших шляхів між двома вершинами в DAG

З огляду на незважене DAG (спрямований ациклічний графік) та дві вершини і , чи можна знайти найменший і найдовший шлях від до в поліноміальний час? Довжина шляху вимірюється кількістю ребер.s t s $D = (V,A)$$s$$t$$s$$t$

Мені цікаво знайти діапазон можливих довжин шляху в многочлен.

Пс., Це запитання є дублікатом найдовшого шляху StackOverflow у DAG .

Що стосується проблеми найкоротшого шляху, якщо ми не піклуємося про ваги, то пошук по ширині спочатку - це надійний спосіб. Інакше алгоритм Дейкстри працює до тих пір, поки немає негативних ребер.

Для найдовшого шляху ви завжди можете зробити Беллмана-Форда на графіку з усіма запереченими вагами. Нагадаємо, Bellman-Ford працює до тих пір, поки немає негативних циклів ваги, а тому працює з будь-якими вагами на DAG.

Нехайі. Нехай позначає вагу ребра . Припустимо, ви хочете знайти мінімальну та максимальну вартість шляху від до .m = | E ( G ) | w ( a → b ) ( a → b ) s $n = |V(G)|$$m = |E(G)|$$w(a \to b)$$(a \to b)$$s$$t$

Починаючи з , виконайте наступне:$b := t$

1. Якщо вже відвідано, поверніть уже обчислені та . В іншому випадку позначте як відвідане.$b$max ( b ) $\min(b)$$\max(b)$$b$

2. Визначте і запишіть та наступним чином.max ( b $\min(b)$$\max(b)$

   • Якщо , збережіть .min ( s ) : = max ( s ) : = $b = s$$\min(s) := \max(s) := 0$
   • Інший набір ігнорування вершин, для яких . Під час обчислення мінімуму та максимуму на порожньому наборі ребер (відсутні вхідні ребра до взагалі або всі ігноруються), встановіть . $$\begin{align*}\min(b) &:= \min_{a \to b} \Bigl[ w(a \to b) + \min(a) \Bigr] \\ \max(b) &:= \max_{a \to b} \Bigl[ w(a \to b) + \max(a) \Bigr]\end{align*}$$ $\min(a) = \max(a) = \mathrm{inaccessible}$$b$$\min(b) := \max(b) := \mathrm{inaccessible}$

Ви повинні мати можливість довести, що цей алгоритм працює у часі , нехтуючи часом, необхідним для ініціалізації всіх вершинних змінних.$O(m)$