Що складніше: перемішувати відсортовану колоду чи сортувати перетасовану?

У вас є масив з яти різних елементів. У вас є доступ до компаратора (функція чорної скриньки, яка бере два елементи і і повертає справжній iff ) і справді випадкове джерело бітів (функція чорної скриньки не бере аргументів і повертає незалежно рівномірно випадковий біт). Розглянемо наступні два завдання: $n$ $a$ $b$ $a < b$

На даний момент масив відсортований. Виробляють рівномірно (або приблизно рівномірно) випадково вибрану перестановку.
Масив складається з певної перестановки, вибраної рівномірно за характером. Створити відсортований масив.

Моє запитання

Яке завдання вимагає більше енергії асимптотично?

Я не в змозі визначити це питання точніше, тому що я недостатньо знаю про зв’язок між теорією інформації, термодинамікою чи іншим необхідним, щоб відповісти на це питання. Однак я думаю, що питання можна зробити чітко визначеним (і сподіваюся, що хтось допоможе мені у цьому у відповіді!).

Тепер, алгоритмічно, моя інтуїція полягає в тому, що вони рівні. Зауважте, що кожен вид є перетасуванням у зворотному напрямку, і навпаки. Для сортування потрібен порівнянь під час переміщення, оскільки він вибирає випадкову перестановку з вибір, вимагає випадкових біт. Як переміщення, так і сортування вимагають приблизно змін. $\log n! \approx n \log n$ $n!$ $\log n! \approx n \log n$ $n$

Однак я відчуваю, що слід відповісти, застосовуючи принцип Ландауера , який говорить про те, що йому потрібно енергії, щоб трохи "стерти". Інтуїтивно, я думаю, що це означає, що сортувати масив складніше, тому що він вимагає "стирання" бітів інформації, переходячи від низькоенергетичного, основного стану розладу до високопорядкованого. Але з іншого боку, для будь-якого обчислення сортування просто перетворює одну перестановку в іншу. Оскільки я тут неповний експерт, я сподівався, що хтось із знаннями про зв'язок з фізикою може допомогти "розібратися" в цьому! $n \log n$

(Питання не отримало відповідей на math.se , тому я його повторно розміщую тут. Сподіваюся, що це нормально.)

— усул
джерело

Я взагалі не замислювався над цим, тому застережую лектор. Якщо ми починаємо з відсортованого масиву, то використовуємо сортування злиття, але замість порівняння ми використовуємо випадкові біти для злиття (тому замість повернення true iff

ми повертаємо true iff, випадковий біт дорівнює

). Базовий випадок, коли ми маємо два масиви розміром один, створює два можливі масиви розміром два з однаковою ймовірністю. Я більше нічого від цього не дістав.

a < b

$a<b$

1

$1$

— Люк Матхісон

Я думаю, що для того, щоб відповісти на це питання, спочатку потрібно визначити відносні витрати на експлуатацію; скільки коштує читання даних, запис даних та генерування / отримання випадкового числа?

— mitchus

@mitchus: Мені цікаво в основному фізичні межі, якщо ми припускаємо "оптимально ефективні" комп'ютери. Моє грубе розуміння полягає в тому, що існує фізична нижня межа кількості енергії, необхідної для "стерти" трохи інформації, в той час як інші операції вимагають набагато менше енергії. Тож мені цікаво, чи ця інтуїція є правильною та формалізованою, щоб дати відповідь.

— usul

Що ви маєте на увазі, трохи стершись? Переписувати його? Наскільки я знаю, комп'ютери зазвичай нічого не стирають (за винятком причин конфіденційності), а просто «забувають» про це, виділяючи пов'язану область пам’яті. Але, можливо, я тут неправильно не

— розумію

@ Patrick87 На жаль, однакова енергетична модель занадто далека від істини, щоб її використовувати; див. Оцінка алгоритмів відповідно до їх енергоспоживання Fudeus née Bayer та Nebel (2009).

— Рафаель

Відповіді:

$n$ $log n! \approx n \log_2 n$ $(n \ln n) k T$ $n \log_2 n$

Зауважте, що це лише теоретичні нижні межі. Енергія, яка в даний час споживається цими процесами на фактичному цифровому комп'ютері, не має відношення до вищезазначеного аналізу.

— Петро Шор
джерело

Дуже дякую! Чи можу я попросити можливого наївного спостереження? Припустимо, я змінюю формулювання запитання, щоб алгоритм сортування давав деяку фіксовану перестановку елементів і повинен сортувати їх. Тепер, якщо ви підписалися на байєсівську філософію і маєте єдине переконання щодо цього вкладу, здається, відповідь має бути однаковою. Але за філософією, що у вході немає випадковості (хоча я не знаю, що це таке), аргумент здається невдалим. Як вирішити парадокс? Знову дякую!!

— usul

@usul: у такому випадку ви все ще видалили біти, тому алгоритм все одно приймає

(n \ln n) k T

$(n \ln n) kT$

Ні. Будь-яку схему можна зробити оборотною , відстежуючи вхід, а розсіювання енергії оборотних обчислень можна зробити довільно малим .

— rphv
джерело

але зробити його оборотним може зробити це неефективним. Яке співвідношення оптимальних алгоритмів. До речі, я не думаю, що вони порівнюють. Перемішування по суті вимагає випадковості (і будь-яка інша випадковість дасть різний результат). Сортування може бути детермінованим. "Повернення" сортування буде переміщуватися детерміновано.

— Ран Г.

Під "ефективним" ви маєте на увазі час, простір чи якусь комбінацію обох? Зробити обчислення оборотним не обов'язково додає асимптотичну складність часу, і існують оборотні версії кожного обчислення, які використовують не більше місця, ніж оригінали [Vitányi05] .

— rphv

Поки ви тримаєте вхід навколо, будь-яка схема може бути зворотною. Якщо ви не хочете зберігати інформацію, яка може реконструювати оригінальну перестановку навколо, схема сортування не може бути зворотною.

— Пітер Шор