Перетворення довільної обкладинки у вершину

Дано плоский графік і нехай позначає його вбудовування в площину, кожен край має довжину . Крім того, у мене є набір точок, де кожна точка міститься в . Крім того, для будь-якої точки в справедливо, що існує з геодезичною відстані до не більше однієї. (Відстань вимірюється як найменша відстань в .) $G=(V,E)$ $\mathcal{G}$ $1$ $C$ $c \in C$ $\mathcal{G}$ $p$ $\mathcal{G}$ $c \in C$ $p$ $\mathcal{G}$

Я хочу , щоб стверджувати , що , з огляду на , для яких виконується вказане вище умова, можна легко перетворити його в вершину кришки, або інакше кажучи, перетворити його в в тій же потужності й будь-якого поміщається в в вершині і по- , як і раніше охоплює . $C$ $C'$ $c \in C'$ $\mathcal{G}$ $G$ $C'$ $G$

Мій підхід полягав у тому, щоб орієнтувати краї та переміщувати точки в у кінцевій вершині дуги. Але до сих пір я не знайшов правильну орієнтацію , яке дає від . $C$ $C'$ $C$

Хтось має ідею?

algorithms graph-theory set-cover

— user695652
джерело

Я не зовсім розумію проблему. Що означає "

"? Як саме ви вимірюєте відстані? Якщо ви маєте на увазі, що

завжди знаходиться на краю, то, здається, якщо поставити його в будь-який кінець, то кожна точка на відстані щонайбільше

від нього - а саме обидві кінцеві точки - все ще знаходиться на відстані не більше

від неї. За будь-якою орієнтацією.

p

$p$

G

$\mathcal{G}$

p

$p$

1

$1$

1

$1$

— Yuval Filmus

@Yuval Filmus

- це зображення дуги Йорданії

, тобто підмножина

просто означає, що точка повинна міститися на кресленні, а не в будь-якому місці площини. Відстань вимірюється як геодезична відстань у

, тобто найкоротший шлях, що з'єднує дві точки на кресленні. Для останнього зауваження зробіть 4 цикл і покладіть дві точки в середину першого та третього краю. Він охоплює весь графік, але якщо тепер перемістити одну точку в кінцевій точці вершини за годинниковою стрілкою та одну точку в її кінцевій точці вершини проти годинникової стрілки, вона охоплює кришку

G

$\mathcal{G}$

G

$G$

\mathhbb R^{2}

$\mathhbb{R}^2$

p \in G

$p \in \mathcal{G}$

G

$\mathcal{G}$

— user695652

Якщо немає точок в чи не лежать точно на середній точці ребра в , то досить , щоб зв'язати кожну точку в до найближчої вершини в . Я залишу це як вправу читачеві довести це (натяк: доведіть протиріччям). $C$ $\mathcal{G}$ $C$ $\mathcal{G}$

З іншого боку, якщо точкам в дозволено лежати на середині крайок, тоді ми можемо надати зустрічний приклад: $C$

введіть тут опис зображення

Сині лінії і кола і червоні хрести . $\mathcal{G}$ $C$

ВИДАЛЕНО ДО ДОДАТИ: Приклад із двоскладеним графіком

введіть тут опис зображення

— мум
джерело

Велике спасибі за контрприклад. Чи погоджуєтесь ви з тим, що якщо ми обмежимо графіки, які мають бути пов'язані між собою, тоді твердження вірно, навіть якщо всі точки знаходяться посередині?

— користувач695652

Я не думаю, що двозв'язність врятує вас. Я відредагував свою відповідь новим прикладом.

— mhum

Це досить інше питання. Можливо, має сенс розмістити його окремо.

— mhum

@mhum Як ти робив зображення графіків? Чи існує якась програма для цього?

— Тацет

@Tacet Я не пам'ятаю точно, як я це робив. Я думаю, що першим може бути MS Paint або GIMP. Другий може бути або GIMP, або геогебра.

— mhum