У чому полягає різниця між "Рішенням" та "Перевіркою" в теорії складності?

16

У Теорії обчислень Майкла Сіпсера на сторінці 270 він пише:

P = клас мов, для членства яких можна швидко визначитися.
NP = клас мов, на які можна швидко перевірити членство.

Яка різниця між "вирішеним" та "перевіреним"?

complexity-theory terminology decision-problem

1

До речі, я впевнений, що пікселі котирувань не є формальними визначеннями використання P та NP Sipser. Визначення (або деякі з перших результатів) повинні вирішити питання.

— Рафаель

12

Завдання прийняття рішення членства: враховуючи будь-який вхідний , вирішити кастрований баран , тобто обчислити наступні функції: $x$ $x \in L$

$\qquad \displaystyle \chi_L(x) = \begin{cases}1 &x \in L \\ 0 & x\notin L\end{cases}$

$x$ $x\in L$

$n \in \mathbb{N}$ $n$ $(n, \{i_1, \dots, i_k\})$ $\prod_{j=1}^k i_j = n$

$G = (V,E)$ $k$ $(G, (v_1, \dots, v_n))$ $v_1 \to \dots \to v_n$ $k$

$x \in L$

— Рафаель
джерело

Насправді, якщо ви можете перевірити приналежність у поліноміальний час за допомогою детермінованої машини Тьюрінга M, побудувати недетерміновану TM M ', яка визначає членство, досить просто: просто перерахуйте недетерміновано всі можливі введення та складіть композицію з M.

— Romuald

8

$e$

Але якщо машина робить привал, не важко довести кому - то іншому: просто сказати їм , скільки кроків пробіги машин , перш ніж зупиниться. Вони можуть запустити машину за стільки кроків і знати, якщо ви сказали правду (звичайно ігноруючи ефективність).

Таким чином, набір машин для зупинки Тьюрінга не вирішується, але він може бути перевірений. Зауважте, що для машин, які не зупиняються , жодних доказів не потрібно давати . Перевірка є асиметричною в тому сенсі, що тільки членство в наборі може бути підтвердженим, а членство поза набором - не.

Ситуація з P і NP є аналогічною. Мова є NP, якщо існує така система доказів, що кожен об'єкт, який знаходиться в мові, має короткий доказ (обмежений поліномом розміром об'єкта), який може бути перевірений ефективно (за допомогою декількох кроків, обмежених многочлен за розміром вводу).

З іншого боку, мова є в P, якщо є спосіб сказати, чи є довільний об'єкт у мові, використовуючи ряд кроків, обмежених поліномом за розміром об'єкта. Тепер ми маємо турбуватися про довільні введення, а не лише об’єкти в мові. Але ця проблема є симетричною: якщо мова є в Р, то так є її доповнення. Не вирішене питання, чи є доповненням кожної мови НП також мовою NP.

(Ця аналогія може стверджувати, що проблеми НП полягають у задачах Р, як перенастрої, - це обчислювальні множини. Це дещо правда, але це може ввести в оману. Основним фактом є те, що множина, яка є повторно і повторно, може бути обчислена, тоді як невідомо, чи кожна множина, яка є NP і Co-NP, знаходиться в P).

— Карл Маммерт
джерело