Чи існує для кожної обчислюваної функції

19

Для кожної обчислюваної функції чи існує проблема, яку можна вирішити в кращому випадку за час чи є обчислювальна функція така, що кожна проблема, яку можна вирішити в може також вирішуються в час? $f$ $\Theta(f(n))$ $f$ $O(f(n))$ $o(f(n))$

Це питання спливе в голову вчора. Я трохи про це думав зараз, але не можу це зрозуміти. Я насправді не знаю, як би я google для цього, тому я прошу тут. Ось що я придумав:

Моя перша думка полягала в тому, що відповідь - так: для кожної обчислюваної функції проблема "Виведення крапок" (або створення рядка з крапок чи будь-чого іншого) очевидно не може бути вирішена в час. Тож нам потрібно лише показати, що це можна вирішити за час. Немає проблем, просто візьміть наступний псевдо-код: $f$ $f(n)$ $f(n)$ $o(f(n))$ $O(f(n))$

x = f(n)
for i from 1 to x:
    output(".")

Очевидно, що алгоритм вирішує заявлену проблему. І час виконання, очевидно, у $\Theta(f(n))$ , тому проблема вирішена. Це було легко, правда? За винятком ні, це не тому, що вам доведеться враховувати вартість першого рядка. Вищенаведений алгоритм виконує лише у $\Theta(f(n))$ якщо час, необхідний для обчислення знаходиться в . Зрозуміло, що це не так для всіх функцій ¹ . $f(n)$ $O(f(n))$

Тож такий підхід мене ніде не змусив. Буду вдячний за те, щоб хтось вказував мене в правильному напрямку, щоб це правильно зрозуміти.

¹ Розглянемо для прикладу функцію . Зрозуміло, що , але немає алгоритму, який обчислює за час. $p(n) = \cases{1 & \text{if $n$ is prime} \\ 2 & \text{otherwise}}$ $O(p(n)) = O(1)$ $p$ $O(1)$

complexity-theory

— sepp2k
джерело

1

Я не думаю, що ваші два твердження у ваших перших абзацах обов'язково є протилежними один одному: що робити, якщо у вас є

f

$f$ така, що існує якась проблема, яку можна вирішити в

O (f (n))

$O(f(n))$ , а не в

o (f (n))

$o(f(n))$ , ні в

Θ (f (n))

$\Theta(f(n))$ час?

— Олексій десять Брінк

@Alex Це хороший момент, я не вважав це.

— sepp2k

13

За теоремою про розрив (використовуючи формулювання звідси , шукайте "пробіл"), для будь-якої обчислюваної необмеженої функції $g : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ існує деяка зростаюча (насправді довільно велика) обчислювана функція $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ така, що $DTIME(f(n)) = DTIME(g(f(n))$ .

Це дає відповідь на ваше запитання тим, що існує таке $f$ (насправді безліч): для кожної обчислюваної функції $g$ такої, що $g = o(n)$ , існує деяка зростаюча функція $f$ така, що всі задачі, що вирішуються в $O(f(n))$ час також можна розв'язати в $O(g(f(n)) = o(f(n))$ часу. Зауважимо , що $f$ не обов’язково конструювати за часом - про випадок, який можна сконструювати за часом, див. відповідь від @RanG.

У формулюванні Вікіпедії (що вимагає, щоб $g(x) \geq x$ ), то $g \circ f$ стає вашим прикладом, а $f$ має бути $\omega(n)$ (так що ви йдете навпаки - «задачі, розв’язувані в $O(g(f(n))$ також розв’язуються в $O(g(n))$ '- цікава частина).

Стаття у Вікіпедії не відзначити , що зростає , і насправді може бути як завгодно великим ( , наприклад). У статті , що і доводить теорему розриву робить згадка і довести це (див тут , наприклад). $f$ $f(n) \geq g(n)$

— Алекс десять Бринк
джерело

може

бути

? Чи не потрібно, щоб

? Ваше твердження досі правильне, але доказ йде іншим шляхом, правда?

g

$g$

o (n)

$o(n)$

g (x) \geq x

$g(x)\ge x$

— Ран Г.

@RanG. Оновлено, щоб надати доказ для обох формулювань (я використовував рецептуру в роботі) :)

— Alex ten Brink

"для кожної обчислюваної функції g такою, що g = o (n), існує деяка функція f така, що всі задачі, розв'язувані за час O (f (n)), також вирішуються в O (g (f (n)) = o ( f (n)) час "Що робити, якщо всі fs, які існують для цього g, знаходяться в O (1)? Тоді O (g (f (n)) все ще є O (1) і, отже, не o (1).

— sepp2k

@ sepp2k: хороший улов, це справді проблема, сформульована. Я оновив свою відповідь.

— Алекс десять Брінк

12

Для кожної обчислюваної функції чи існує проблема, яку можна вирішити в кращому випадку за час, чи існує обчислювальна функція така, що кожна проблема, яку можна вирішити в також може розв’язатись в час? $f$ $\Theta(f(n))$ $f$ $O(f(n))$ $o(f(n))$

Якщо - функція , що може бути сконструйована за часом , то теорема часової ієрархії говорить, що існують проблеми, які потребують часу , і їх неможливо вирішити з часом $f$ $O(f(n))$ . Зокрема, $o\left (\frac{f(n)}{\log(f(n))}\right )$

DTIME (o (\frac{f (n)}{\log (f (n))})) ⊊ DTIME (f (n))

$\text{DTIME}\left ( o\left (\frac{f(n)}{\log(f(n))}\right) \right ) \subsetneq \text{DTIME} \left ( f(n) \right)$

Це враховує лише проблеми з рішенням і не враховує час, необхідний для отримання результату.

— Ран Г.
джерело

Я маю рацію припускати, що якщо ми розглянемо неконструктивні функції, відповідь на моє запитання - «ні»? Або пов'язано з цим: якщо функція

не може бути сконструйована за часом і, отже, немає машини Тюрінга, яка зупиняється після кроків

, чи означає це, що також немає машини Тюрінга, яка зупиняється після

кроків? Бо з цього випливало б банально, що відповідь на моє запитання - ні.

f

$f$

f (n)

$f(n)$

Θ (f (n))

$\Theta(f(n))$

— sepp2k

Це залежить. Припустимо, що

не може бути сконструйований часом, але може бути обмежений якоюсь іншою функцією

яка може бути сконструйована часом.

і все ще існує проблеми, які можна вирішити за часом

але не надто менше, ніж це.

f

$f$

g

$g$

f = Θ (g)

$f=\Theta(g)$

O (f)

$O(f)$

— Ран Г.

і, використовуючи кілька стрічок TM, ви можете покращити результат від

to

.

o (\frac{f (n)}{\lg f (n)})

$o(\frac{f(n)}{\lg f(n)})$

o (f (n))

$o(f(n))$

— Каве

3

Я спробую надати щось рамки, сподіваючись, що це дасть глибше розуміння.

Коли ви добираєтесь до чогось такого фундаментального, всюди виникають несподівані підводні камені. Наприклад: що таке "вирішення" проблеми? Часто в галузі інформатики ми розглядаємо лише варіант "рішення", в якому нам надають вклад і потрібно лише вивести True або False. Ви зосереджуєтесь на проблемі "функції".

Якщо ви вважаєте, що позначення O (f (n)) намагається зафіксувати, скільки "роботи" потрібно, щоб вирішити проблему, використання рішення замість функції (де потрібен вихід) здається кращим, оскільки ви чітко відокремлюєте обчислення від форматування виводу. .

Я не думаю, що це відповість на ваше запитання, але вас це може зацікавити: http://en.wikipedia.org/wiki/Time_hierarchy_theorem

Також будьте уважні до теореми про швидкість .

— агоренст
джерело