Постійна проблема оптимізації, яка зводиться до TSP

Припустимо, мені задано кінцевий набір точок у площині і попросимо провести двічі диференційовану криву через , щоб її периметр був максимально меншим. Якщо припустити, що та , я можу формалізувати цю проблему як: C ( P ) p i p i = ( x i , y i ) x i < x i + $p_1,p_2,..p_n$$C(P)$$p_i$$p_i=(x_i,y_i)$$x_i<x_{i+1}$

Завдання 1 (відредаговано у відповідь на коментарі Суреша) Визначте функції параметра таким, що довжина дуги зведено до мінімуму, при цьому і для всіх , маємо . x ( t ) , y ( t ) t L = ∫ [ t ∈ 0 , 1 ] $C^2$$x(t),y(t)$$t$$L = \int_{[t \in 0,1]} \sqrt{x'^2+y'^2}dt$$x(0) = x_1, x(1) = x_n$$t_i: x(t_i) = x_i$$y(t_i)=y_i)$

Як я можу довести (або, можливо, спростувати), що проблема 1 є важкою для NP?

Чому я підозрюю твердість NP Припустимо, що припущення розслаблене. Очевидно, що функція мінімальної довжини дуги є комівояжер тур по р I «с. Можливо, обмеження C 2 лише ускладнює проблему?$C^2$$p_i$$C^2$

Контекст Варіант цієї проблеми був розміщений на MSE . Він не отримав відповіді і там, і в МО . Враховуючи, що вирішити проблему нетривіально, я хочу встановити, наскільки це важко.

Вимога диференційованості не змінює характеру проблеми: вимагаючи (безперервність) або C ∞ (нескінченна диференційованість) дає однакову нижню межу для довжини і однаковий порядок балів, і еквівалентно вирішенню проблеми продавця подорожі .$\mathcal{C}^0$$\mathcal{C}^{\infty}$

Якщо у вас є рішення TSP, у вас крива яка проходить через усі точки. І навпаки, припустимо, у вас крива C 0 кінцевої довжини, яка проходить через усі точки, і нехай p σ ( 1 ) , … , p σ ( n ) - це порядок, в якому вона проходить через точки і t 1 , … , t n відповідні параметри (якщо крива проходить точку більше одного разу, виберіть будь-яке з можливих значень t ). Тоді крива побудована з n відрізків $\mathcal{C}^0$$\mathcal{C}^0$$p_{\sigma(1)}, \ldots, p_{\sigma(n)}$$t_1,\ldots,t_n$$t$$n$$[p_{\sigma(1)},p_{\sigma(2)}], \ldots, [p_{\sigma(n-1)},p_{\sigma(n)}], [p_{\sigma(n)},p_{\sigma(1)}]$коротша, тому що для кожного відрізка пряма лінія коротша за будь-яку іншу криву, яка з'єднує точку. Таким чином, для кожного впорядкування точок найкраща крива - це рішення TSP, а рішення TSP забезпечує найкраще впорядкування точок.

Давайте тепер показуємо , що вимога кривого бути (або C до для будь-яких до ) не змінює кращий порядок точок. Для будь-якого TSP рішення загальної довжини л і будь-якого е > 0 , ми можемо округлити кожен кут, тобто побудувати C ∞ кривої , яка перетинає точки в тому ж порядку і має довжину не більше ℓ + ε (явна конструкція спирається на алгебраїчні функції та e - 1 / t 2 для визначення функцій удару та від тих плавних зв'язків між сегментами кривих, таких як$\mathcal{C}^{\infty}$$\mathcal{C}^k$$k$$\ell$$\epsilon > 0$$\mathcal{C}^{\infty}$$\ell + \epsilon$$e^{-1/t^2}$ який з'єднується з y = 0 при x = 0 і з y = x при x = 1 ; нудно робити ці явні, але вони обчислювані); отже, нижня межакривої C ∞ така сама, як і для колекції сегментів (зауважте, що нижня межа взагалі не досягається).$e^{1-1/x^2} (x-e^{-1/(1-x)^2})$$y=0$$x=0$$y=x$$x=1$$\mathcal{C}^{\infty}$