Планарні регулярні мови

У моєму класі учень запитав, чи можна намалювати всі кінцеві автомати без перетину ребер (схоже, всі мої приклади були). Звичайно, відповідь негативна, явний автомат для мови $\{\; x\in\{a,b\}^* \mid \#_a(x)+2\#_b(x) \equiv 0 \mod 5 \;\}$ має структуру $K_5$ , повний графік на п'яти вузлах . Ювал показав подібну структуру для спорідненої мови.

Моє запитання таке: як ми можемо показати, що кожен автоматичний скінченний стан для цієї мови є непланарним? З подібними характеристиками Myhill-Nerode, ймовірно, можна встановити, що структура мови присутня на діаграмі, але як ми можемо зробити це точно?

І якщо це можна зробити, чи є характеристика "планарних регулярних мов"?

Неправда, що кожен DFA для цієї мови є непланарним:

Ось мова, яка є справді непланарною:

$$\left\{ x \in \{\sigma_1,\ldots,\sigma_6\}^* \middle| \sum_{i=1}^6 i\#_{\sigma_i}(x) \equiv 0 \pmod 7 \right\}.$$ Візьміть будь-яку площинну FSA для цієї мови. Якщо ми видалимо всі недоступні стани, ми все одно отримаємо плоский графік. Кожен стан, що досягається, має шість різних вихідних ребер, що суперечить відомому факту, що кожен плоский графік має вершину ступеня не більше п'яти.

Концепція досліджувалася раніше. (Як тільки ви дізнаєтесь відповідь, google для неї ...)

Спочатку є стара праця Книги та Чандри, з наступним конспектом.

Підсумок Показано, що для кожного автомата з кінцевими станами існує еквівалентний недетермінований автомат з плоским графіком стану. Однак існують автомати з кінцевим станом без еквівалентного детермінованого автомата з площинним графіком стану.

Наведений приклад та аргументація - це саме той, що Ювал у своїй відповіді!

Крім того, вони також розглядають двійковий алфавіт.

Існує 35-державний по суті непланарний детермінований автомат над двобуквенним алфавітом.

Цю роботу відносно недавно продовжують Бонфанте та Делоуп. Вони розглядають топологічні вкладення. Неформально рід графа - це кількість отворів, які потрібно додати, щоб вбудувати графік у поверхню без перетину ребер. Графіки з родом нуля планарні. Тоді рід мови - це мінімальний рід автоматів для мови.

Теорема 9 (Ієрархія, заснована на роду). Існують регулярні мови довільно великого роду.

У розділі "Державні мінімальні автомати проти родо-мінімальних автоматів" знаходимо результат, доказом чого є перший приклад, поданий Ювалем (десять держав зробили п'ять державних мов K5 планарними).

Пропозиція 7. Існують детерміновані автомати з родом, строго нижчим за рід відповідного їм мінімального автомата.

G.Bonfante, F.Deloup: Рід регулярних мов, Математичні структури в інформатиці, 2018. doi 10.1017 / S0960129516000037 . Також ArXiv 1301.4981 (2013)

RV Book, AK Chandra, По суті непланарних автоматів, Acta informatica 6 (1976) doi 10.1007 / BF00263745