Доведіть NP-повноту вирішення задоволення монотонної булевої формули

Я намагаюся вирішити цю проблему і дуже боюся.

Монотонна булева формула являє собою формулу в логіці висловлювань , де все літерали є позитивними. Наприклад,

$\qquad (x_1 \lor x_2) \land (x_1 \lor x_3) \land (x_3 \lor x_4 \lor x_5)$

є монотонною булевою функцією. З іншого боку, щось подібне

$\qquad (x_1 \lor x_2 \lor x_3) \land (\neg x_1 \lor x_3) \land (\neg x_1 \lor x_5)$

не є монотонною булевою функцією.

Як я можу довести NP-повноту цієї проблеми:

Визначте, чи задовольняється монотонна булева функція, якщо змінних чи менших встановлено на ? $k$ $1$

Зрозуміло, що всі змінні можуть бути просто встановлені як позитивні, і це банально, тому є обмеження позитивно заданих змінних. $k$

Я спробував зменшити SAT до монотонної булевої формули. Одне, що я спробував, - це замінити манекенну змінну на кожен негативний літерал. Наприклад, я спробував замінити на , а потім спробував змусити та бути різними значеннями. Я не дуже міг змусити це працювати. $\neg x_1$ $z_1$ $x_1$ $z_1$

complexity-theory np-complete satisfiability

— фіз
джерело

Ласкаво просимо! Будь ласка, подбайте про мову та форматування.

— Рафаель

Відповіді:

"Батьком" проблеми, яку ви шукаєте, іноді називають зваженою задоволеністю (WSAT, особливо в параметризованій складності) або Min-Ones (хоча це зазвичай версія для оптимізації, але досить близька). Ці проблеми містять обмеження "щонайбільше змінних, встановлених на істинне", як особливість. $k$

Обмеження монотонними формулами насправді напрочуд легко продемонструвати твердість, вам просто потрібно на мить розібратися поза проблемами задоволеності. Замість того, щоб намагатися змінити екземпляр SAT, ми замість цього починаємо з домінуючого набору (DS).

Подивіться, чи зможете ви дістати його звідти. Більше є у спойлерах, розбитих на шматочки, але уникайте їх, якщо можете. Я не буду демонструвати членство в НП, у вас не повинно бути проблем з цим.

Враховуючи екземпляр DS (тобто ми хочемо домінуючого набору розмірів не більше для ), ми можемо побудувати екземпляр WSAT, де формула є монотонною формулою CNF: $(G, k)$ $k$ $G$ $(\phi,k)$ $\phi$

Основна конструкція:

Для кожного ми маємо змінну , для кожного маємо пункт . $v\in V(G)$ $v' \in \text{var}(\phi)$ $v \in V(G)$ $c_{v} = \bigvee_{u\in N(v)} u'$

Ескіз доказу:

Кожна вершина або повинна бути в домінуючому наборі, або мати сусід, тобто, якщо ми можемо знайти вершин, які утворюють домінуючий набір, відповідні змінних можуть бути встановлені на true у , і кожен пункт повинен містити в хоча б один із них. Аналогічно, якщо існує вагу задовольняє призначенню, справжні змінні відповідають вершинам, які ми розміщуємо в домінуючому наборі - кожен пункт повинен мати принаймні одне, тому кожне домінує (само по собі чи іншим чином). $k$ $k$ $\phi$ $k$ $c_{v}$ $v$

— Люк Матієсон
джерело

Нічого цього не має сенсу, дякую! Я думаю, що мене неодмінно наздогнали спроби звести SAT до монотонної булевої формули.

— нат

Я також бачу, що ми можемо також зменшити прикриття вершин до монотонної булевої формули.

— нат

@nat дійсно, перехід від вершинного обкладинки також приємний тим, що він дає вам формулу в 2CNF, що цікаво, оскільки 2-SAT є в P, але монотонна WSAT з формулами 2CNF є NP-повною. За збігом обставин, ви також можете отримати антимонотонні результати (де кожна змінна заперечується, але вам потрібно принаймні справжніх змінних) з набору Clique / Independent. Якщо ви особливо зацікавлені, ви можете розглянути параметризовану складність, де такі проблеми задоволення відіграють центральну роль.

k

$k$

— Люк Матхісон

Я думаю, що точно такий же підхід працює і з покриттям вертикалей.

— Haskell Fun

@HaskellFun, я теж думав про це. Кришка вершини така ж, як монотонна Min-W2SAT.

— rus9384

Існує просте зменшення від SAT. Введіть нову змінну для представлення . Давши формулу , ми створюємо нову формулу , замінюючи кожне виникнення на і додаючи пункт для кожної змінної. Встановлюємо як кількість вихідних змінних. Нова формула є монотонною і задовольняє максимум k змінним, встановленим на істинне, якщо і лише тоді, коли задовольняється. (Це тому, що непереміжні пункти викликають будь-які задовольняючі призначення для $z_i$ $\neg x_i$ $\phi$ $\phi'$ $\neg x_i$ $z_i$ $x_i \vee z_i$ $k$ $\phi'$ $\phi$ $k$ $x_i \vee z_i$ $\phi'$ мати принаймні змінних до True; але тоді єдиний спосіб мати максимум - це точно встановити один з них для true для кожної пари {x_i, z_i}.) $k$ $k$

— Девід
джерело