Нижні межі обчислення функції множини

Маючи набір $A$ Скажімо, з елементів слід сказати, що я хочу обчислити функцію яка чутлива до всіх частин вводу, тобто залежить від самого члена (тобто можна змінити будь-який член на щось інше, щоб отримати новий вхід -ве значення на і різні). $n$ $f(A)$ $A$ $A$ $A'$ $f$ $A$ $A'$

Наприклад, може бути сумою або середнім. $f$

Чи є результат, який доводить, що за деяких умов час детермінованої машини Тьюрінга для обчислення буде ? $f$ $\Omega(n)$

complexity-theory

— Віталій Олегович
джерело

Зауважте, що якщо

A

$A$ це послідовність із випадковим доступом, і припущення про чутливість ослаблене, це не завжди має місце. Наприклад,

(i, x_{1}, \dots, x_{n}) \to x_{i}

$(i,x_1,\dots,x_n) \to x_i$ можна обчислити з двома запитами, навіть якщо це не хунта.

— sdcvvc

@sdcvvc ваш приклад нагадує мені інструкцію на мові С V[i]. Що таке визначення хунти ?

— Виталий Олегович

k

$k$ -junta - булева функція, яка залежить лише від

k

$k$ аргументи, тобто є безліч

A \subset {1, 2, \dots, n}

$A\subset\{1,2,\dots,n\}$ розміру

k

$k$ такий, що для будь-якого

x

$x$ ,

y

$y$ , якщо

x

$x$ і

y

$y$ відрізняються лише позиціями зовні

A

$A$ , тоді

f (x) = f (y)

$f(x)=f(y)$ . Я зловживав цим терміном, щоб означати функцію, яка не залежить від усіх аргументів.

— sdcvvc

Якщо ви намагаєтеся знайти підтримку для вашої відповіді на проблему середньої відстані на math.se, на жаль, це не зробиться.

— Ар'ябхата

@Aryabhata першим наміром було знайти підтримку моєї відповіді на це запитання: math.stackexchange.com/questions/129969/… , але єдине, що цей результат скаже, це те, що якщо є

n

$n$ вершин на графіку, алгоритм обчислення середньої відстані їх буде

Ω (n)

$\Omega(n)$ , що є досить очевидним. Я там видалив свою відповідь, тому що, як ви писали, я нічого не довів.

— Виталий Олегович

Ви повинні вказати модель обчислення та властивості $f$ . У наступному аргументі я викладу припущення, які мені потрібні. Це може бути узагальнено трохи далі, але я думаю, що це повинно бути достатньо, щоб дати вам ідею.

Припустимо, що машина $M$ ніколи не читає значення одного з членів $A$ (фіксований набір, і $A$ подано у вигляді списку). Припустимо, що далі $A$ є вхідним таким, що змінює значення його $i$ -й член не змінюється $M$ відповідь. Припустимо, що далі $f$ чутливий до всіх частин вводу, тобто залежить від самого члена $A$ (тобто можна змінити будь-якого члена $A$ до чогось іншого, щоб отримати новий вклад $A'$ st значення $f$ на $A$ і $A'$ різні).

Ми можемо використовувати аргумент противника, щоб показати, що машина не може обчислити правильну відповідь, змінивши значення цього члена $A$ отримати $A'$ інше st значення $f$ інакший. Значення $M$ на цих двох множинах однакове, тому одна з них повинна бути помилковою і тому $M$ не може обчислити $f$ правильно.

Тому будь-яка машина $M$ що обчислює $f$ потрібно буде прочитати весь вхід, який потрібно $\Omega(n)$ кроки.

(З іншого боку, припустимо, що у нас є недетермінований апарат з випадковим доступом, і ми хочемо обчислити АБО біти на вході. Ми можемо недетерміновано трохи здогадатися і перевірити, чи це 1, якщо це 1, ми виводимо 1 . Ця машина читає лише один біт вводу в $O(\lg n)$ кроки і правильно відповідає на проблему. Тож без припущень про $M$ і $f$ результат не вдається.)

— Каве
джерело

Вибачте, я забув написати, що моя модель обчислення була детермінованою машиною Тьюрінга.

— Виталий Олегович

+1 для аргумента супротивника, що є прекрасним способом почати розуміти нижні межі.

— Джо