Розрахунок функції зайнятого бобра

Функція максимального зсуву бобра, , має відомі значення для . Чи є якась основна, структурна причина, чому немислимо, що ми коли-небудь знаходимо для ? Що так відрізняється від ніж ? Або ? Десь на цьому шляху повинна існувати якась принципова різниця, інакше в принципі була б обчислюваною для всіх , так у чому саме полягає ця різниця? $S(n)$ $n\leq4$ $S(n)$ $n>4$ $n=4$ $n=5$ $n=6$ $S(n)$ $n$

computability busy-beaver

— PeteyPabPro
джерело

Відповіді:

Причина того, що жодна програма не може обчислити полягає в тому, що якби ви знали, що таке , ви могли б вирішити проблему зупинки - ви знали, коли перестати чекати. З іншого боку, для кожного існує програма, яка обчислює для всіх - вона просто використовує таблицю. $S(n)$ $S(n)$ $m$ $S(n)$ $n \leq m$

Якби можна було довести значення для всіх (тобто для всіх ми могли б довести для деяких ), то ми могли б обчислити шляхом пошуку через усі докази (це передбачає, що наша система підтвердження діє). Отже, для кожної системи доказів існує мінімальне значення для якого ви не можете довести, що для будь-якого . $S(n)$ $n$ $n$ $S(n) = \alpha$ $\alpha$ $S(n)$ $n$ $S(n) = \alpha$ $\alpha$

Нарешті, причина того, що нам відомо , ймовірно, тому, що - це дійсно невелике число. Число трохи більше, і так справи ускладнюються. Немає глибоких причин, чому ми знаємо але не , так само як немає глибокої причини, чому ми знаємо номер Рамзі але не (хоча числа Рамзі, звичайно, можна обчислити) . $S(4)$ $4$ $5$ $S(4)$ $S(5)$ $R(4)$ $R(5)$

— Юваль Фільм
джерело

Спасибі. Середній абзац був по суті те, про що мені було цікаво (і це доказ Годеля, правда?). Таким чином, насправді може бути, що має доказ у нашій формальній системі, але цього не має.

S (4)

$S(4)$

S (5)

$S(5)$

— PeteyPabPro

Імовірно. Якщо є недоказаним, але правдиво, що також є недоступним, і тому у нас є твердження, яке не може бути ні доведено, ні спростоване.

S (n) = " S (n) "

$S(n)=\text{"}S(n)\text{"}$

S (n) \neq " S (n) "

$S(n)\neq\text{"}S(n)\text{"}$

— Yuval Filmus

Ви все ще не пояснили, чому ми можемо бути настільки впевнені, що S (4) правильний, тоді як S (5) або вище ми ніколи не можемо знати. Це тому, що ми не на 100% щодо S (4), а впевнені лише "майже майже"?

— Dan W

Ми на 100% впевнені в S (4). Я не думаю, що існує якась глибока причина, що стоїть за нашим незнанням щодо S (5). Це лише нинішня межа наших знань.

— Yuval Filmus

Я вважаю, що існує дійсно міцна система доказів і 6-ти штатна машина з кольоровим твердженням, яка дозволяє довести, що в цій системі немає доказів того, що вона ніколи не зупиниться, і вона не зупиниться перед будь-яким алгоритмом, який може бути доведений у цій системі. всередині символів googol, щоб з часом зупинити зупинки.

— Тимофій

Скотт Ааронсон обговорює це тут . Він та його співавтор знаходять явну верхню межу на для якої можна обчислити . $n$ $S(n)$

— PeteyPabPro
джерело

Не могли б ви процитувати відповідну частину?

— Зло

інший кут, з неофіційним ескізом відповіді, який би потребував тривалого часу, щоб технічно обробити подальші дослідження (тобто це, в основному, програма дослідження): є деякі попередні докази того, що межа того, що можна обчислити про Зайнятого бобра функція - це міра складності алгоритму, що має два рефлексу нижче, що натякають на цей напрям. [1] [2] приблизно, невеликі ТМ з дуже малою кількістю станів не можуть виконати "стільки" або "як витончена поведінка", як більш складні алгоритми з більшою кількістю станів. тому для його обчислення виявляється також глибокий зв'язок зі складністю Колмогорова . [3] Інший спосіб погляду на це полягає в тому, що те, що відомо / обчислюється про функцію Зайнятого Бівера, також тісно збігається з найсучаснішою в автоматизованій теоремі доведення, яка (подібно до технологічного прогресу) - це межа, що постійно просувається на основі математичних досліджень та інформатики.

[1] Зайнята проблема бобра, атака нового тисячоліття , Ван Хювельн та ін

[2] Малі машини Тьюрінга та генералізована конкуренція зайнятих бобрами , Мішель

[3] Про час роботи найкоротших проблем , Батфай

— взн
джерело