Призначення номера

Дані числа такі, що є присвоєння чисел що є перестановкою такою, що $k$ $A_1 \leq A_2 \leq ... \leq A_k$ $\sum\limits_{i=1}^k A_i = k(2k + 1)$ $i_1, i_2, ... , i_{2k}$ $1, 2, ... , 2k$

$i_1 + i_2 \leq A_1\\ i_3 + i_4 \leq A_2\\ .\\.\\.\\ i_{2k-1} + i_{2k} \leq A_k$

Я не можу знайти ефективний алгоритм, який вирішує цю проблему. Це здається комбінаторною проблемою. Мені не вдалося знайти подібну проблему NP-Complete. Чи схожа ця проблема як відома проблема NP-Complete або її можна вирішити за допомогою поліноміального алгоритму?

np-complete decision-problem

— gprime
джерело

Ви просунулися в цій проблемі?

— Yuval Filmus

Я забув згадати, що

A_{1} \leq A_{2} \leq . . . \leq A_{k}

$A_1 \leq A_2 \leq ... \leq A_k$

— gprime

Пов'язана проблема , також без задовільної відповіді. (На перший погляд може бути не зрозуміло, як вони пов'язані, але якщо , проблема еквівалентна пошуку перестановки так що .

K = 2 N

$K=2N$

1 \dots 2 N

$1 \ldots 2N$

i_{2 a - 1} - i_{2 a} = A_{i}

$i_{2a-1} - i_{2a} = A_i$

— Пітер Шор

Відповіді:

Ця проблема сильно не завершена.

Припустимо, всі непарні. Тоді ми знаємо, що оскільки непарне, один з і парний, а другий непарний. Можна вважати, що непарний, а парний. Дозволяючи та , ми можемо показати, що це еквівалентно запитуючи дві перестановки, та , числа такі, що . $A_j$ $i_{2j-1} + i_{2j} = A_j$ $i_{2j-1}$ $i_{2j}$ $i_{2j-1}$ $i_{2j}$ $\pi_j = \frac{1}{2}(i_{2j-1}+1)$ $\sigma_j = \frac{1}{2}(i_{2j})$ $\pi$ $\sigma$ $1 \ldots n$ $\pi_j + \sigma_j = \frac{1}{2}(A_j+1)$

Відомо, що ця проблема не є повною; Дивіться цю проблему cstheory.se і цю статтю В. Ю., Х. Хугевена та Дж. Ленстра, на яку йдеться у відповіді.

— Петро Шор
джерело

Ось вам підказка для початку: оскільки сума всіх чисел від до рівно , рішення можливе лише у тому випадку, якщо насправді , тощо . Отже, з урахуванням ми знаємо тощо. Також . $1$ $2k$ $k(2k+1)$ $i_1 + i_2 = A_1$ $i_3 + i_4 = A_2$ $i_1$ $i_2$ $3 \leq A_j \leq 4k-1$

— Юваль Фільм
джерело

Тож як я повинен вибрати для початку? Я не бачу рішення. Але дякую за майно

i_{1}

$i_1$

3 \leq A_{j} \leq 4 k - 1

$3 \leq A_j \leq 4k -1$

— gprime

Якщо сортувати , ми знаємо , , тощо. Чи достатньо цих критеріїв разом із ? Якщо вони є, можливо, для цієї проблеми може бути простий алгоритм.

A_{i}

$A_i$

3 \leq A_{1}

$3 \leq A_1$

10 \leq A_{1} + A_{2}

$10 \leq A_1 + A_2$

21 \leq A_{1} + A_{2} + A_{3}

$21 \leq A_1 + A_2 + A_3$

\sum_{i} A_{i} = k (2 k + 1)

$\sum_i A_i = k(2k+1)$

— Петро Шор

Так, вони сортуються. Я спробую скористатися цим ...

— gprime

@PeterShor Ви також повинні враховувати межі з протилежного напрямку, тобто тощо, і так далі. Дивлячись на проблему анекдотично, видається, що простий жадібний алгоритм повинен виявляти рішення, коли вони існують, і виходити з ладу саме тоді, коли їх немає - але я маю проблеми з його доведенням.

4 n - 1 \geq A_{n}, 8 n - 6 \geq A_{n - 1} + A_{n}

$4n-1 \geq A_n, 8n-6 \geq A_{n-1}+A_{n}$

— torquestomp

@torquestomp: Ви піднімаєте хорошу точку. Насправді, обмеження з одного напрямку також передбачають межі з іншого, але це зовсім не очевидно на перший погляд. Я розглядав подібну проблему і не міг розібратися з простим алгоритмом (але мені також здалося, що аналога цих критеріїв справді достатньо).

— Петро Шор

Це відповідність проблеми, і тому її можна вирішити за допомогою алгоритму Едмонда. Дивіться вікіпедію

— Буде
джерело

Ідея Stackexchange полягає в тому, щоб відповісти на питання, які є максимально розумними. Чи зможете ви розширити свою відповідь, щоб бути не просто посиланням на вікіпедію?

— Люк Матхісон

Чи можете ви докладно? Я не бачу, як я можу використовувати ці алгоритми для вирішення мого питання.

— gprime

Насправді для мене це виглядає як особливий випадок 3-зіставлення, який є NP-завершеним. Це не означає, що проблема з ОП не завершена.

— Пітер Шор

Можливо, це може бути двостороння відповідність? Я загляну в 3-х відповідність, щоб побачити, чи можу я це зрозуміти. Дякую!

— gprime