Для чого використовують ґрати?

У Вікіпедії сказано :

Повні решітки з'являються у багатьох програмах з математики та інформатики

Це лише посилання на той факт, що стандартна булева алгебра, що використовується для обчислення, є повною решіткою? Чи є щось, що ми отримуємо, працюючи на абстрактному рівні грат, а не конкретно з булевою логікою?

Пошук у Google не знайде багато з цього приводу, але я, мабуть, використовую неправильні ключові слова.

Дивіться, наприклад, цю книгу: Теорія решітки з додатками, Віджай К. Гарг , яка починається так:

Теорія часткового порядку та решітки відіграє важливу роль у багатьох дисциплінах інформатики та техніки. Наприклад, вони мають додатки в розподілених обчисленнях (векторні годинники, глобальне виявлення предикатів), теорії паралельності (помсети, мережі зустрічей), семантиці мови програмування (семантика з фіксованою точкою) та обробці даних (аналіз концепцій). Вони також корисні в інших дисциплінах математики, таких як комбінаторика, теорія чисел і теорія груп. У цій книзі я ввожу важливі результати в теорії часткового порядку поряд з їх застосуваннями в інформатиці. Упередженість книги стосується обчислювальних аспектів теорії решіток (алгоритмів) та додатків (особливо розподілених систем).

Здається, книга не згадує теорію рекурсії (теорія обчислювальних множин), але з статті Вікіпедії про теорію обчислюваності ми бачимо:

Коли Пост визначив поняття простого набору як повторного набору з нескінченним доповненням, що не містить жодного нескінченного набору, він почав вивчати структуру рекурсивно перелічуваних множин, що включаються. Ця решітка стала добре вивченою структурою. Рекурсивні множини можуть бути визначені в цій структурі за основним результатом того, що множина є рекурсивною тоді і лише тоді, коли множина та її доповнення рекурсивно перелічуються. Нескінченні набори завжди мають нескінченну рекурсивну підмножину; але, з іншого боку, існують прості множини, але не мають коінфінітного рекурсивного набору. Post (1944) представив уже гіперпрості та гіпергіперпрості множини; пізніші максимальні множини були побудовані, які є повторними множинами таким чином, що кожен повторний набір є або кінцевим варіантом даного максимального набору, або є співкінцевим. Повідомлення " Оригінальною мотивацією при дослідженні цієї решітки було знайти таке структурне поняття, що кожний набір, який задовольняє цій властивості, не є ні в ступені Тюрінга рекурсивних наборів, ні в ступеня Тюрінга проблеми зупинки. Пост не знайшов такої властивості, і рішення його проблеми застосував натомість пріоритетні методи; Гаррінгтон і Соаре (1991) знайшли врешті-решт таку властивість.

Подальше читання дивіться у публікації на блозі Теорія ґратки для програмістів та невчених комп'ютерів .

Регулярні крайові маркування та споріднені структури утворюють розподільну решітку (див. Приклад тут ). Це можна використовувати для ефективного пошуку через простір усіх регулярних маркування крайок для даного графіка (див. Тут ). Як додаток ви можете визначити, чи карта може бути намальована як картограма з певним призначенням області для облич.

Посилання, надані Pål GD, дійсно дуже доречні. Тож давайте зупинимось на незначній сторонній проблемі у цій відповіді. Я деякий час тому прочитав на ґратах і почав замислюватися, чи поняття напіврешітки не було б більш придатним для застосувань. Ви можете заперечити, що повна напіврешітка автоматично також є решіткою, але гомоморфізми та підструктури (тобто підрешітки та підрешітки) різні.

Я вперше зіткнувся з (напів-) ґратами під час вивчення напівгруп, як комутативних ідемпотентних напівгруп. Тоді я подумав про співвідношення між ієрархічними структурами та гратами, і помітив, що дерево, природно, також є напіврешіткою. Тоді я знайшов ґрати в контекстах безпеки та в аналізі програм, і мені завжди здавалося, що структура напіврешітки є справді важливою частиною, а решітку просто взяли, оскільки її можна було отримати "безкоштовно". Навіть для алгебри Гейтінга існує асиметрія між сполученням і диз'юнкцією, що дозволяє мені припустити, що асиметрична модель напіврешітки може дати більше розуміння, ніж симетрична модель решітки.

дуже важливий, але не дуже відомий випадок - він добре відомий серед теоретиків, але не настільки відомий у розумінні того, як їх навчають магістрантам - використання решітки - це доведення суперполіноміальних нижчих меж розміру монотонних схем обчислювальний клік, за який Разборов виграв приз Неванлінна . оригінальна конструкція є дуже технічною, проте пізніші конструкції, наприклад, Берг / Ульфберг, спрощують рамки без посилання на ґрати.

тому в даному випадку теорія решітки була використана як основа для виявлення оригінального доказу, але пізніші формулювання, як правило, не посилалися на це безпосередньо як на концептуальне спрощення.

тому так ґрати можуть розглядатися як більш екзотичний математичний об'єкт [Разборов говорив деінде про свій стиль застосування передової математики до CS], який може відповідати іншому більш "конкретному" об'єкту в CS, в цьому випадку це "ворота наближення" тобто булеві ворота в схемах, які дають "приблизно правильні" відповіді, і решітка є свого роду "індукційною структурою" для перетворення між точним ланцюгом у неточний, приблизний контур.

З тих пір я знайшов безкоштовні папери « Замовлені набори» та «Повні ґрати»: буквар для інформатики для інших зацікавлених читачів.

Також напрочуд (для мене, принаймні) криптографія . Перевірте це, він дозволяє нові атаки відомих криптосистем і дає надії на постквантово-обчислювальну криптографію.