Впорядкування елементів, щоб деякі елементи не знаходилися між іншими

Дано ціле число і набір триплетів різних цілих чисел знайдіть алгоритм, який або знаходить перестановку множини такий, що або правильно визначає, що такої перестановки немає. Менш формально ми хочемо перевпорядкувати числа від 1 до ; кожна трійка у вказує на те, що повинен з'являтися перед у новому порядку, але не повинен з'являтися між $n$

S \subseteq {(i, j, k) ∣ 1 \leq i, j, k \leq n, i \neq j, j \neq k, i \neq k},

$S \subseteq \{(i, j, k) \mid 1\le i,j,k \le n, i \neq j, j \neq k, i \neq k\},$

π

$\pi$

{1, 2, \dots, n}

$\{1, 2, \dots, n\}$

(i, j, k) \in S ⟹ (π (j) < π (i) < π (k)) \lor (π (i) < π (k) < π (j))

$(i,j,k) \in S \implies (\pi(j)<\pi(i)<\pi(k)) ~\lor~ (\pi(i)<\pi(k)<\pi(j))$

n

$n$

(i, j, k)

$(i,j,k)$

S

$S$

i

$i$

k

$k$

j

$j$

i

$i$ і .

k

$k$

Приклад 1

Припустимо, і . Тоді $n=5$ $S = \{(1,2,3), (2,3,4)\}$

$\pi = (5, 4, 3, 2, 1)$ є НЕ допустимим перестановок, так , а . $(1, 2, 3)\in S$ $\pi(1) > \pi(3)$
$\pi = (1, 2, 4, 5, 3)$ є НЕ допустимим перестановок, так , а . $(1, 2, 3) \in S$ $\pi(1) < \pi(3) < \pi(5)$
$(2, 4, 1, 3, 5)$ є дійсною перестановкою.

Приклад 2

Якщо і , немає дійсної перестановки. Так само не існує дійсної перестановки, якщо і ( Я думаю; можливо, тут помилилися). $n=5$ $S = \{(1, 2, 3), (2, 1, 3)\}$ $n=5$ $S = \{(1,2,3), (3,4,5), (2,5,3), (2,1,4)\}$

Бонус: Які властивості визначають, чи існує можливе рішення? $S$

algorithms optimization scheduling

— Патрік87
джерело

Чому б не перефразувати другу умову як ? Тоді у вас є пряма, більш-менш обмежена проблема задоволення. (Зауважте, що я спростив умову, виходячи з інших припущень.)

(σ_{m_{i}}, σ_{m_{j}}, σ_{m_{k}}) \in S ⟹ (i > j \lor j > k)

$(\sigma_{m_i},\sigma_{m_j},\sigma_{m_k})\in S\Longrightarrow (i>j \vee j>k)$

— Дейв Кларк,

До речі: яка мотивація цієї проблеми?

— Дейв Кларк

@DaveClarke Переглянь мою редакцію. Ця проблема була вилучена з дискусії навколо проблеми планування, яку я обговорював з іншими студентами в лабораторії. По суті, ідея полягає в тому, що у вас багато робочих місць, деякі з яких доводиться виконувати в певному порядку. Однак ви не хочете, щоб деякі завдання були заплановані між завданнями в послідовності, можливо, з дуже тонких причин.

— Patrick87

Чому сигми? Просто визначте . Вкладені підписки змушують дитину Ісуса плакати.

Σ = {1, 2, \dots, n}

$\Sigma = \{1,2,\dots,n\}$

— JeffE

@JeffE Чесно кажучи, мені просто подобається привід пограти з рівноцінною річчю. Щось написання коду, що компілюється для цих маленьких є щось, що просто візуально задовольняє . Не бери це у мене, чоловіче.

σ

$\sigma$

— Patrick87

Відповіді:

Ось наївний алгоритм. Зрештою, він покладається на грубу силу, але іноді може працювати нормально.

Кожне обмеження складається з двох сполучників; назвемо їх тип- , , і тип , . Кожне обмеження типу може бути рівнозначно записане як диз'юнкція , спираючись на те, що . $(\sigma_{m_i}, \sigma_{m_j}, \sigma_{m_k}) \in S \implies i < k \wedge \neg(i < j < k)$ $A$ $i < k$ $B$ $\neg(i < j < k)$ $B$ $i>j \vee j>k$ $i\neq j,j\neq k$

Зберіть всі обмеження типуЗателефонуйте цьому . Перевірте, чи відповідають вони, а саме, що це лінеаризація замовлення. Це займає -час у кількості обмежень, використовуючи топологічне сортування. $A$ $\Theta$ $O(|S|)$
Для кожного з роз'єднань обмеження типу перевірте, чи відповідає він частковому порядку . Якщо це не узгоджується, вийміть диз'юнкт. Якщо обидві диз'юнкти не узгоджуються з , то не виходить. Щоразу, коли буде видалено лише одне обмеження типу , додайте решта до . Цей крок - . $B$ $\Theta$ $\Theta$ $B$ $\Theta$ $O(|S|^2)$
Тепер існує очевидний алгоритм пошуку рішення, а саме розглянути всі комбінації пар диз'юнкцій типу і перевірити їх узгодженість з , але це чітко експоненціально в. Одним з евристичних для підвищення продуктивності було б обробляти пари диз'юнкції типу як гілки дерева --- одна пара утворює корінь, дітям дається друга пара, їх дітям третя і так далі. Використовуючи цю структуру даних, рішення знайдеться шляхом обходу дерева на глибині. Щоразу, коли додається нове обмеження (за допомогою мітки на гілці), можна перевірити узгодженість. Невідповідні підкрепи можна підрізати. $B$ $\Theta$ $|S|$
$B$
Якщо досягнуто листя дерева, ми маємо послідовний набір обмежень, що складається з усіх обмежень типу і одного диз'юнкту обмежень типуЛінеаризуйте результат, щоб отримати бажане впорядкування. $A$ $B$

Мій кращий підхід насправді полягав би в тому, щоб кодувати його в набір обмежень і використовувати вирішувач обмежень, такий як Choco. Я б ввів цілих змінних в діапазон і вимагав би, щоб вони були всі чіткі. Тоді я б кодував кожне з вищезазначених обмежень безпосередньо як обмеження, а потім дозволив Чоко займатися своєю справою. $n$ $x_i$ $[0,n-1]$

— Дейв Кларк
джерело

Ось часткова відповідь:

Якщо ви видалите обмеження на кожну трійку, то вашою проблемою стає проблема Небезпечності, яка є незавершеною і не існує відомих ефективних алгоритмів для таких проблем. Але з обмеженням , це може змусити якусь приємну структуру, яку можна використовувати, щоб знайти алгоритм поліноміального часу для вашої проблеми. $i \lt k$ $NP$ $i \lt k$

— Мохаммед Аль-Туркстані
джерело