Використовуйте мінімальну кількість свопів, щоб кожен контейнер містив кульки одного кольору

Є бункерів, то я й бін містить я кулі. Кулі мають п квіти, є а я кулі кольору я . Нехай m = ∑ n i = 1 a i .$n$$i$$a_i$$n$$a_i$$i$$m=\sum_{i=1}^n a_i$

Своп - це взяти кулю з однієї бункера і поміняти кульку з іншої. Ми хочемо мінімальної кількості свопів, щоб кожен контейнер містив тільки кульки одного кольору.

Я знаю прості спеціальні випадки для всіх i . (Якщо a i = 2 для всіх i , то ви навіть можете це зробити, поміняючи кожну кульку не більше одного разу.)$a_i\leq 2$$i$$a_i=2$$i$

Редагувати : Це неправильно, оскільки пошук є NP-важким.$c(D)$

Якщо ми знаємо, який колір йде в який контейнер, проблема проста.

Розглянемо багатогранник , V = { v 1 , … , v n } . Якщо ми знаємо , кольору я йде бен б ( я ) , тобто K паралельні дуги ( J , б ( я ) ) в A тоді і тільки тоді бен J містить K кулі кольору $D=(V,A)$$V=\{v_1,\ldots,v_n\}$$i$$b(i)$$k$$(j,b(i))$$A$$j$$k$$i$. Кожен компонент графа є ейлеровим. Мінімальна кількість необхідних свопів є , де C ( D ) є числом циклів дуги непересічних , яке охоплює A . Ми можемо поміняти місцями, "слідуючи" за ейлеровим контуром. (своп, що використовує дугу мінімального циклу, може змінити його на менший мінімальний цикл і цикл самоврядування). Після того, як весь графік встановлений самостійними петлями, ми зробили всі необхідні свопи.$m-c(D)$$c(D)$$A$

Наскільки важка ця проблема взагалі?

Максимальне розкладання ейлерового спрямованого графа на крайові непересічні цикли є NP-Hard, принаймні відповідно до цієї книги: Алгоритми та програми: Нариси, присвячені Еско Укконену з нагоди його 60-річчя від дня народження .

btw, ось стаття, що стосується проблеми, яку ви, схоже, намагаєтеся вирішити: асимптотично оптимальний алгоритм алгоритму національного прапора Голландії .

$n \le 6$