Оцінка обчислення лямбда за участю церковних цифр

Я розумію, що церковна цифра виглядає як (... n разів ...) . Це означає не що інше, як "функція застосована разів до функції ". $c_n$ $\lambda s. \lambda z. s$ $s\;z$ $s$ $n$ $z$

Можливе визначення функції таке: . Дивлячись на тіло, я розумію логіку функції. Однак, коли я починаю оцінювати, я застрягаю. Я проілюструю це прикладом: $\mathtt{times}$ $\mathtt{times} = \lambda m. \lambda n. \lambda s. m \; (n\; s)$

\begin{aligned} (λ m . λ n . λ s . m (n s)) (λ s . λ z . s s z) (λ s . λ z . s s s z) \\ \to^{*} & λ s . (λ s . λ z . s s z) ((λ s . λ z . s s s z) s)) \\ \to^{*} & λ s . (λ s . λ z . s s z) (λ z . s s s z) \\ \to^{*} & λ s . λ z . (λ z . s s s z) (λ z . s s s z) z \end{aligned}

$\begin{align*} (\lambda m. \lambda n. \lambda s. m \; (n\; s))(\lambda s.\lambda z.s\;s\;z)(\lambda s.\lambda z.s\;s\;s\;z) \mspace{-4em} \\ \to^*& \lambda s. (\lambda s.\lambda z.s\;s\;z) \; ((\lambda s.\lambda z.s\;s\;s\;z)\; s)) \\ \to^*& \lambda s. (\lambda s.\lambda z.s\;s\;z) \; (\lambda z.s\;s\;s\;z) \\ \to^*& \lambda s. \lambda z.(\lambda z.s\;s\;s\;z)\;(\lambda z.s\;s\;s\;z)\;z \end{align*}$

Тепер у цій ситуації, якщо я вперше застосую , я дістанусь до бажаного результату. Однак якщо я застосую перше, як слід, тому що програма асоціативна зліва, я отримую неправильний результат: $(\lambda z.s\;s\;s\;z)\;z$ $(\lambda z.s\;s\;s\;z)\;(\lambda z.s\;s\;s\;z)$

$\lambda s. \lambda z.(\lambda z.s\;s\;s\;z)\;(\lambda z.s\;s\;s\;z)\;z \to \lambda s. \lambda z.(s\;s\;s\;(\lambda z.s\;s\;s\;z))\;\;z$

Я більше не можу цього зменшити. Що я роблю неправильно? Результат повинен бути $\lambda s. \lambda z.s\;s\;s\;s\;s\;s\;z$

lambda-calculus church-numerals

— тріска
джерело

Церковні цифри у вашому початковому терміні неправильні. 2 представлено , не .

λ s . λ z . s (s z)

$\lambda s. \lambda z. s (s z)$

λ s . λ z . s s z

$\lambda s. \lambda z. s s z$

— Удай Редді

Я думаю, що ваше зменшення є правильним (однак я лише привернув увагу). Зрештою, ви не можете застосувати до , це ніколи не з’являється в терміні. є , не . Функції лямбда-числення приймають єдиний аргумент; вони фактично викриваються : двоаргументаційна функція реалізована як функція з одним аргументом, яка приймає перший аргумент і повертає нову функцію з одним аргументом, яка приймає другий аргумент і повертає результат. $(\lambda z. s s s z)$ $z$ $\lambda z. f f z$ $\lambda z. (f f) z$ $\lambda z. f (f z)$

Ви зробили таку ж помилку, визначаючи церковні цифри. Церковна цифра для заснована на складанні функції разів. “Функція застосовується разів до функції ” . Те, що ви написали, - це функція застосована разів до функції і нарешті до , що не вважає мене корисним терміном. $n$ $n$ $s$ $n$ $z$ $\lambda s. \lambda z. s (s ( … s \: z) … ))$ $s$ $n-1$ $s$ $z$

$2 \times 3$ таким чином . Я дозволю вам перевірити, чи він зменшується до . $(\lambda m n s. m (n s)) (\lambda s z. s (s \: z)) (\lambda s z. s (s (s \: z)))$ $\lambda s z. s (s (s (s (s (s \: z)))))$

— Жил "ТАК - перестань бути злим"
джерело

Що стосується вашого абзацу, ви маєте рацію, і я про це знав. Мене просто вразило, що застосування правильно асоціативного результату дало правильний результат. Що стосується другого абзацу: ви праві. Використання жодних брекетів не було для мене помилковим, знову ж таки через ліву асоціативність програми. Я зараз знову все зменшу і побачу, чи мою відсутність брекетів спричинила моя помилка!

— codd

Це було. Ви зазначаєте, що моє позначення передбачає неправильний порядок застосування рішення, що вирішило проблему! Приймаючи вашу відповідь.

— codd