Чому релятивізація є бар'єром?

Коли я пояснював доказ Бейкер-Гілла-Солової про те, що існує оракул, з яким ми можемо мати, , і оракул, з яким ми можемо мати P ≠ N P другові, виникло питання, чому такі методи погано підходять для доведення проблеми P ≠ N P , і я не міг дати задовільної відповіді.$\mathsf{P} = \mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

Якщо говорити конкретніше, якщо у мене є підхід до доказування і якщо я міг би побудувати оракули, щоб зробити ситуацію, подібну до вище, чому це робить мій метод недійсним?$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

Будь-яка експозиція / думки на цю тему?

Якщо говорити конкретніше, якщо у мене є підхід до доказу P ≠ NP і якщо я міг би побудувати оракули, щоб зробити ситуацію, подібну до вище, чому це робить мій метод недійсним?

Зауважте, що останнє "якщо" не є умовою, тому що Бейкер, Гілл та Соловай вже створили такий оракул. Це просто математична істина, що (1) існує оракул, щодо якого P = NP, і що (2) існує оракул, щодо якого P ≠ NP.

Це означає, що якщо у вас є підхід до доказування P ≠ NP, і той самий доказ однаково виявив би більш сильний результат "P ^A ≠ NP ^A для всіх оракул A ", то ваш підхід приречений на провал, оскільки це суперечить (1).

Іншими словами, існує деяка принципова відмінність між доведенням P and NP і доведенням, наприклад, теореми часової ієрархії, оскільки доказ останньої просто використовує діагоналізацію і однаково застосовний до будь-якого релятивізованого світу.

Звичайно, це не означає, що для P P NP немає доказів. Такий доказ (якщо такий існує) повинен не довести сильніший результат, згаданий вище. Іншими словами, деяка частина доказу повинна відрізняти нерелятивізуючий світ від довільних релятивізованих світів.

Вже є хороші відповіді, але я хотів би додати кілька невеликих балів.

$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$

Перш ніж піти далі, зауважте, що така методика, як діагоналізація, тут не є формальною концепцією (хоча ми можемо так зробити). Більше того, те, що методика не може вирішити проблему сама по собі, не означає, що вона взагалі не корисна для вирішення проблеми, ми можемо мати змогу змінити її та / або поєднати її з іншими методами для вирішення проблеми.

$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP^A}$$\mathsf{P^A}$$A$$\mathsf{PSpace}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$

Суттєвим моментом у цьому аргументі є певний принцип передачі :

ми можемо передати аргумент діагоналізації для ТМ без оракула до ТМ з оракулами.

Це можливо тут, оскільки аргументи діагоналізації засновані на моделюванні машин, більше того, моделювання не залежить від внутрішніх машин, а лише від остаточних відповідей цих моделей. Цей вид діагоналізації називають простою діагоналізацією . У симуляції не має значення, як працює машина, ми дбаємо лише про остаточну відповідь машини. Додавання оракула не змінить цього, тому моделювання та аргумент працюватимуть також у рамках, де у нас є оракули.

$\mathsf{P}$$SAT$$SAT$

$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$

$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$

$M$$M$$M$$M$бути таким екземпляром. Це велике зображення, якщо ви хочете побачити деталі, перевірте папір Козена.

Літній:

• $\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$
• $\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$
• Причина цього переходу від оракул, що не потребує оракул, в рамках, що працює на оракулах, полягає в тому, що проста діагоналізація заснована на симуляції чорних ящиків ТМ, і не має значення, як працює машина, має вона оракул чи ні.

Два хороших документи, щоб дізнатися більше про діагоналізацію

• Дослідницький документ Ленса Фортнова "Діагоналізація", 2001 та
• Доповідь Рассела Імпальяццо, Валентина Кабанець та Антоніни Колоколової "Аксіоматичний підхід до алгебризації", 2009. (Зауважте, що алгебраїзація - це продовження простої діагоналізації .)

$\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$\mathrm{A} \neq \mathrm{B}$$\mathrm{A} = \mathrm{B}$$\mathrm{O}$$\mathrm{A}^\mathrm{O} \neq \mathrm{B}^\mathrm{O}$$\mathrm{A}^\mathrm{O} = \mathrm{B}^\mathrm{O}$$P = NP$$P \neq NP$

Чому це проблема? Коли з'ясувалося це доказ, більшість методик і хитрощів, які ми знали, відокремлювали або руйнували класи складності, «релятивізовані», оскільки вони працюють стосовно будь-якого оракула. Наприклад, теорема про ієрархію часу (а також про простір та недетерміновані її версії) 'релятивізується': вони доводять розділення для класів, для яких це розділення релативізується, і насправді вони доводять сильніший результат, який має поділ стосовно будь-який оракул.

$P = NP$$P \neq NP$$P \neq NP$$\mathrm{PSPACE}$